Крива Гільберта. Побудова кривої Гільберта за допомогою рекурсії

У 1890 році італійський математик Джузеппе Пеано відкрив плоску криву з дивовижною властивістю заповнення простору: крива заповнювала одиничний квадрат і проходила через кожну його точку щонайменше один раз.

Крива Пеано заснована на поділі кожної сторони одиничного квадрата на три рівні частини, які ділять його на дев'ять менших квадратів. Крива проходить ці дев'ять квадратів в певному порядку. Потім кожен з дев'яти менших квадратів аналогічно ділиться на дев'ять частин, і крива модифікується таким чином, щоб обійти всі частини в певному порядку.

У 1891 році німецький математик Давид Гільберт відкрив варіант кривої Пеано, який базується на розподілі кожної з сторін одиничного квадрата на дві рівні частини, що ділить квадрат на чотири менші частини. Після цього, кожен з чотирьох одержаних квадратів, в свою чергу, ділиться на чотири менших квадрата і так далі. Зазначимо, що на кожній стадії такого поділу Гільберт будував криву, яка обходила всі наявні квадрати. Крива Гільберта (яку іноді називають кривою Пеано-Гільберта) являє собою граничну криву, отриману в результаті такої побудови.

Читати повністю

Поняття фрактала. Крива Коха та алгоритм її побудови

Поняття фрактала з'явилося в кінці сімдесятих років минулого століття і стало широко застосовуватися математиками і комп'ютерними художниками. Фрактали знайшли широке застосування в комп'ютерній графіці завдяки компактності математичного апарату, необхідного для їх відтворення на екрані комп'ютера.

Слово фрактал походить від латинського fractus і в перекладі означає «cкладений із фрагментів». Цей термін запропонований французько-американським математиком Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення самоподібних структур.

У комп'ютерній графіці використовують таке означення фрактала: фракталом називається геометрична фігура, яка складається з частин, які в певному розумінні подібні за формою на всю фігуру, тобто це геометрична фігура, в якій один і той самий фрагмент повторюється при кожному зменшенні масштабу (частина об'єкта схожа на сам об'єкт). Тобто, характерною рисою фрактала є самоподібність відносно масштабу (наприклад, гірський камінь має такі ж обриси, як і гірський хребет).

Читати повністю