Поділ відрізка у заданому відношенні
Нехай дано точки і
та додатні числа
і
. Необхідно знайти точку
, що поділяє відрізок
у відношенні
, тобто
.
Поділ відрізка у заданому відношенні
Для цього, на першому кроці, побудуємо трикутники і
. Вони подібні за двома кутами, а тому
. Звідси, виходячи з того, що
і
, та скориставшись формулою (1), отримаємо:
Знаходження відстані між двома точками
Нехай дано дві точки і
. Задача полягає у знаходженні відстані між цими точками. Для цього, з точок
та
опустимо перпендкуляри на вісь абсцис та вісь ординат. В результаті вони перетнуться в деякій точці
, з координатами
.
Відстань між двома точками
Тобто, після виконання даного кроку, ми отримали прямокутний трикутник , для якого відрізок
, довжину якого нам необхідно знайти, являється однією із сторін, а саме гіпотенузою. А, як відомо з теореми Піфагора, у прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів (
). Скориставшись даним твердженням приходимо до висновку, що для знаходження довжини гіпотенузи, а відповідно і довжини відрізка
, достатньо обчислити корінь квадратний від суми квадратів довжин катетів:
Обчислення довжини дуги кривої за допомогою визначеного інтеграла
Сьогодні розглянемо ще одну задачу, яка як і задача обчислення площі плоскої фігури та задача обчислення об'ємів тіл, відноститься до категорії найважливіших геометричних задач, що вирішуються методами інтегрального числення, а саме задачу знаходження довжини дуги кривої.
Для цього, припустимо, що в прямокутній системі координат задано неперервну криву , для якої необхідно знайти довжину дуги
, яка розташована в інтервалі між
та
.

Апроксимація елемента дуги кривої прямолінійним відрізком
Відмітимо, що розв'язок даної задачі почнемо поділом дуги точками
з абсцисами
на
частин. На наступному кроці поєднаємо дані точки відрізками
, довжини яких позначимо через
відповідно. В результаті виконання даного кроку, ми отримали ламану лінію
, вписану в дугу
. Довжина даної ламаної складається з довжин відрізків
, тобто: