Обчислення наближеного значення похідної функції в точці

Похідна — це математичне поняття, яке широко використовується при розв'язку багатьох задач з математики, фізики та інших наук. Зокрема на даному сайті, нами було розглянуто велике коло чисельних методів, які використовуючи поняття похідної, реалізують процес наближеного розв'язку нелінійних рівнянь та відшукання найбільшого чи найменшого значень функції на заданому проміжку (відмітимо, що з даної групи методів, найбільш відомим являється метод Ньютона, який за скінченне число ітерацій, знаходить наближені значення коренів нелінійного рівняння).

Похідна функції в деякій точці характеризує швидкість зміни функції в цій точці. Оцінку швидкості зміни можна отримати, обчисливши відношення зміни функції до відповідної зміни аргументу . У визначенні похідної таке відношення розглядається за умови, що . Перейдемо до більш детального аналізу даного поняття.

Для цього, розглянемо деяку функцію , неперервну в околі точки і нехай  — приріст аргументу в точці . Позначимо через або приріст функції, який дорівнює . Відзначимо тут, що функція неперервна в точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Читати повністю

Метод Ейлера для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Метод Ейлера — один з найпрстіших чисельних алгоритмів розв'язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданим початковим значенням тобто задачі Коші. Він є явним, однокроковим методом першого порядку точності, основна ідея якого полягає в тому, що інтегральна крива апроксимується кусочно-лінійною функцією, так званою ламаною Ейлера.

Метод Ейлера

Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Розглянемо даний процес більш детально. Для цього запишемо диференціальне рівняння наступного вигляду:

з початковою умовою і припустимо, що потрібно занйти його ровз'язок на деякому інтервалі . Для цього розіб'ємо заданий інтервал на частин з кроком .  В результаті отримаємо систему рівновіддалених точок:

Читати повністю