Властивості та сума членів геометричної прогресії

Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов'язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге — у знаходженні суму  членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою ), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.

  1. Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени і будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо: . Звідси, . Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати , що і треба було довести.

  2. У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на -му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має  членів, перебувають члени  і відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати: . Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить  членів. Отже, позначивши цю суму через , запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:

Читати повністю

Означення та формула обчислення загального члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називається така послідовність чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме, задане для даної послідовності, число , яке називається знаменником геометричної прогресії (передбачається, що ).

Якщо число членів прогресії скінченне, то вона називається скінченною геометричною прогресією. В іншому випадку вона називається нескінченною. Наведемо приклади нескінченних геометричних прогресій:

  1.  — знакододатна, монотонно зростаюча геометрична прогресія.
  2.  — знакозмінна геометрична прогресія ( являється меншим нуля).

Абсолютна величина членів другої з наведених вище прогресій, в силу того, що , спадає. У зв'язку з цим прикладом введемо означення: геометрична прогресія називається спадною, якщо , тобто, якщо її члени зменшуються по модулю (зауважимо, що при , як в розібраному прикладі, самі члени прогресії поперемінно змінюють знак і спадної послідовності не утворюють, хоча ми і називаємо прогресію спадною).

Читати повністю