Властивості та сума членів арифметичної прогресії
Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв'язок практично будь-якої задачі пов'язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:
-
Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).
Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена
, члени
та
будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне:
. Звідси,
. Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо
, що і треба було довести.
-
У скінченній арифметичній прогресії
суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.
Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії:
. Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на
-му місці від початку прогресії знаходиться член
, то на
-му місці від її кінця знаходиться член
. Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:
Звідси, виходячи з того, що
, отримаємо
, що і треба було довести.
Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має членів, позначимо цю суму через
. Запишемо вираз суми
двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз — по спаданню: