Знаходження власних значень та власних векторів матриці методом вичерпування в середовищі delphi

Програма знаходить рішення задач на власні значення використовуючи для цього метод вичерпування. Основна ідея даного методу полягає у розв'язку послідовності задач на відшукання максимального по абсолютній величині власного значення та відповідного йому власного вектора деякої матриці. Тобто для знаходження, наприклад, другого власного значення, необхідно, щоб попереднеє власне значення та відповідний йому власний вектор, а також власний вектор транспонованої матриці, вже були відомими. Після цього, згідно алгоритму методу вичерпування, з допомогою даних величин та самої матриці Метод вичерпування на delphi формується деяка матриця Метод вичерпування на delphi (подібна до матриці Метод вичерпування на delphi), максимальним по абсолютній величині власним значенням якої є шукане друге власне значення заданої матриці Метод вичерпування на delphi. Більш детальна інформація про даний метод міститься за посиланням Знаходження власних значень та власних векторів матриці методом вичерпування.

Читати повністю

Рішення задач на власні значення методом вичерпування

Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю Метод вичерпування, елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином: Метод вичерпування.

Поряд з матрицею Метод вичерпування, розглянемо ще одну матрицю Метод вичерпування, де Метод вичерпування — перше власне значення матриці Метод вичерпування; Метод вичерпування — відповідний власний вектор матриці Метод вичерпування, розглядуваний як матриця-стовпець; Метод вичерпування — власний ветор, явий відповідає власному значенню Метод вичерпування транспонованої матриці до Метод вичерпування, розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори Метод вичерпування та Метод вичерпування нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:

Читати повністю

Інтерполяція функції використовуючи формулу Бесселя

Для виводу інтерполяційної формули Бесселя візьмемо Інтерполяційна формула Бесселя рівновіддалених вузли інтерполяції stirling_interpolation4 з кроком Інтерполяційна формула Бесселя, і нехай Інтерполяційна формула Бесселя задані значення функції в даних вузлах.

Після цього, скориставшись другою інтерполяційною формулою Гаусса, в якості початкового наближення для якої взявши значення Інтерполяційна формула Бесселя та Інтерполяційна формула Бесселя, отримаємо:

stirling_interpolation31

Далі, за початкове наближення візьмемо значення Інтерполяційна формула Бесселя. Тоді Інтерполяційна формула Бесселя, причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1) виростуть на одиницю. Замінивши в правій частині (1) stirling_interpolation12 на stirling_interpolation13 і збільшивши індекси всіх скінченних різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

Читати повністю

Інтерполяція в середині таблиці. Інтерполяційна формула Стірлінга

Інтерполяційні формули Гаусса являються не єдиними, які відносяться до категорії формул з центарльними різницями. До їх числа також відносять інтерполяційну формулу Стірлінга та Бесселя. В даному матеріалі розглянемо першу з них.

Інтерполяційна формула Стірлінга, представляє собою середнє арифметичне першої та другої інтерполяційних формул Гаусса і приймає наступний вигляі:

Інтерполяційна формула Стірлінга

де Інтерполяційна формула Стірлінга.

Читати повністю

Перша та друга інтерполяційні формули Гаусса

Нехай маємо Інтерполяційна формула Гаусса рівновіддалених вузлів інтерполяції Інтерполяційна формула Гаусса, де Інтерполяційна формула Гаусса, і для деякої функції Інтерполяційна формула Гаусса відомо її значення в даних вузлах, тобто Інтерполяційна формула Гаусса. Задача полягає у побудові інтерполяційного полінома, степінь якого не перевищує Інтерполяційна формула Гаусса і значення якого у візлах інтерполяції співпадає з відомими значеннями функції (Інтерполяційна формула Гаусса).

Даний поліном будемо шукати в наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (1) перепишемо у наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Читати повністю

Знаходження рангу матриці в середовищі програмування Delphi

Розглядуваний delphi-проект призначений для знаходження рангу матриці за методом обвідних мінорів та методом елементарних перетворень (теоретична частина по даних методах міститься за посиланням Ранг матриці та способи його обчислення). Після запуску програми на екрані комп’ютера появиться вікно, яке складається з насутпних елементів:

  1. Панелі інструментів (містить область зміни розмірності матриці; область вибору методу; кнопки «Знайти ранг матриці» та «Очистити матрицю»).
  2. Робочої області (містить компонент для відображення даних в табличній формі).
  3. Статусного рядка (призначений для виводу результатів роботи програми).

rank_matrix_delphi1

Інтерфейс delphi-проекту "Знаходження рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень"

Для знаходження рангу матриці з допомогою даного delphi-проекту, необхідно виконати наступні дії: задати розмірність матриці, вибрати метод для розв'язку, заповнити таблицю даними та скористатись кнопкою «Знайти ранг матриці».

Читати повністю

Ранг матриці. Обчислення рангу матриці за методом обвідних мінорів та методу елементарних перетворень

Розглянемо матрицю Ранг матриці розмірності Ранг матриці. В даній матриці виділимо будь-яких Ранг матриці рядкуів і таку саму кількість стовпців. Відмітимо, що число Ранг матриці не повинно перевищувати загальну кількість рядків та стовпців заданої матриці, тобто Ранг матриці. Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених Ранг матриці рядків та стовпців називається мінором Ранг матриці-го порядку матриці Ранг матриці. Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів називається рангом матриці Ранг матриці. З даного означення випливають наступні властивості рангу:

  1. Ранг прямокутної матриці Ранг матриці розмірності Ранг матриці не перевищує меншого із двох чисел і Ранг матриці, тобто Ранг матриці.
  2. Ранг матриці Ранг матриці дорівнює нулю (Ранг матриці) тоді і тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
  3. Для квадратної матриці Ранг матриці-го порядку ранг дорівнює Ранг матриці тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто коли її визначник відмінний від нуля.

Серед методів визначення рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів і, такзваний, метод елементарних перетворень. Розглянемо спочатку алгоритм першого з них.

Отже, на першому кроці, знаходимо будь-який, відмінній від нуля, мінор першого порядку (). Якщо такого мінора немає, то матриця являється нульовою і, як зазначалося вище, ранг такої матриці рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існує хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до дослідження мінорів другого порядку, які містять в собі rang_matrici10 (обводять rang_matrici10) і робимо це до тих пір, поки не знайдем мінор rang_matrici111 відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то rang_matrici12. В іншому випадку, досліджуємо мінори третього, четвертого і так далі порядків і таким чином переходимо до обчислення, якщо вони існують, мінорів rang_matrici14-го порядку, які обводять мінор rang_matrici15. Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то Ранг матриці. Якщо ж хоча б один мінор rang_matrici16, то rang_matrici17, тобто ітераційний процес методу обвідних мінорів необхідно продовжувати далі.

Читати повністю

Наступна сторінка »