Метод множників Лагранжа. Розв'язок задачі нелінійного програмування з обмеженнями-рівностями

Ідея методу множників Лагранжа при знаходженні розв'язку задачі нелінійного програмування, полягає в заміні початкової задачі дещо простішою. Для цього цільову функцію замінюють іншою, з більшою кількістю змінних і яка включає в себе умови, що подані як обмеження. Після такого перетворення подальше розв'язування задачі полягає в знаходженні екстремуму нової функції, на змінні якої не накладено ніяких обмежень. Тобто від початкової задачі пошуку умовного екстремуму переходимо до задачі відшукання безумовного екстремального значення іншої функції, яке визначається з допомогою необхідної умови існування екстремуму. Тобто, для розв'язування задачі необхідно знайти вирази частинних похідних нової цільової функції за кожною змінною і прирівняти їх до нуля. В результаті отримаємо систему рівнянь. Її розв'язок визначає так звані стаціонарні точки, серед яких є і шукані екстремальні значення функції.

Далі, розглянемо даний процес більш детально, та застосуємо метод множників Лагранжа для розв’язування задачі нелінійного програмування, що має вигляд:

Читати повністю

Розв’язування рівнянь теплопровідності методом скінченних різниць

Розглянемо одномірне рівняння теплопровідності (відноситься до диференціальних рівнянь параболічного типу), яке має наступний вигляд Метод скінченних різниць де:

Метод скінченних різниць

з початковими умовами:

Метод скінченних різниць

і граничними умовами:

Метод скінченних різниць

Рівняння теплопровідності — це модель температури в ізольованому бруску, який має на кінцях постійну температуру Метод скінченних різниць і Метод скінченних різниць та початкову температуру по цілому бруску Метод скінченних різниць. Для даної задачі потрібно знайти чисельний розв'язок з допомогою методу скінченних різниць.

Читати повністю