Метод ортогоналізації на Delphi. Розв'язок систем лінійних рівнянь методом ортогоналізації засобами Delphi

Програма знаходить розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь викоритовуючи метод ортогоналізації (теоретична частина даного методу містяться за посиланням Рішення СЛАР методом ортогоналізації). Інтерфейс головної форми розглядуваного delphi-проекту не відрізняється від проектів, які реалізують інші чисельні методи признячені для рішення основної проблеми лінійної алгебри, а саме відшукання розв'язку лінійних систем. Тобто після запуску програми, на екраін появиться форма, в якій необхідно вказати розмірність системи, заповнити розширену матрицю коефіцієнтами при невідомих та елементами стовця вільних членів після чого шуканий розв'язок отримують скориставшись кнопкою "Розв'язати систему рівнянь".

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Інтерфейс програми, яка використовуючи алгоритм методу ортогоналізації знаходить розв'язок СЛАР

Читати повністю

Метод ортогоналізації. Знаходження розв'язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) Метод ортогоналізації, яку необхідно розв'язати використовуючи алгоритм методу ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, в першу чергу, приєднаємо вектор вільних членів Метод ортогоналізації до матриці коефіцієнтів Метод ортогоналізації, в результаті система (1) набуде наступного вигляду:

Метод ортогоналізації

де Метод ортогоналізації — вектор-рядки (Метод ортогоналізації); Метод ортогоналізації — вектор-стовпець. Далі, систему векторів Метод ортогоналізації доповнимо додатковим вектором Метод ортогоналізації після чого, до отриманої  системи векторів Метод ортогоналізації застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи Метод ортогоналізації і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

Читати повністю

Знаходження розв'язку задачі Коші використовуючи метод Мілна

Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і представляє один з методів прогнозу і корекції, тобто, рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі — корекція отриманого значення. Якщо отримане значення Метод Мілна після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і так далі. Однак, при використанні методу Мілна, дуже часто обмежуються лише одним етапом корекції.

Нехай потрібно знайти розв'язок задічі Коші:

Метод Мілна

Для цього, виберемо деякий крок Метод Мілна, і покладемо:

Метод Мілна

Далі, виходячи з того, що для знаходження значення Метод Мілна метод Мілна використовує інформацію з чотирьох попередніх точок Метод Мілна, знаходимо їх використовуючи початкову умову та будь-який з однокрокових методів (метод Ейлера, методо Рунге-Кутта).

Читати повністю

Оптимізація функції двох змінних використовуючи метод градієнтного спуску на Delphi

Метод градієнтного спуску, для знаходження мінімального значення функції використовує її градієнт і таким чином мінімізація функції на кожній ітерації відбувається у напрямку найшвидшого спадання, що значно прискорює процес пошуку оптимуму. Оптимізація функції при використанні методу градієнта проводиться в два етапа. На першому знаходяться значення частинних похідних по всіх незалежних змінних, які визначають напрям градієнта в розглядуваній точці. На другому етапі здійснюється крок у напрямку, зворотному напрямку градієнта, тобто в напрямку найшвидшого спадання цільової функції. І таким чином, на кожній ітерації, одночасно змінюються значення всіх незалежних змінних. Кожна з яких одержує приріст, пропорційний відповідній складовій градієнта по даній осі.

Алгоритм градієнтного методу розглядати не будемо, його можна знайти перейшовши за посиланням мінімізація функції декількох змінних використовуючи метод градієнтного спуску. Розглянимо лише delphi-проект, який реалізує даний алгоритм.

Читати повністю

Мініиізація функції декількох змінних використовуючи метод градієнтного спуску

З курсу математики відомо, що напрямок найбільшого зростання будь-якої функції, в нашому випадку Метод градієнтного спуску характеризується її градієнтом:

Метод градієнтного спуску

де Метод градієнтного спуску — одиничні вектори у напрямку координатних осей. Отже, напрям, протилежний градієнтному, вкаже напрямок найбільшого спадання функції а методи, засновані на виборі шляху оптимізації за допомогою градієнта, називаються градієнтними.

Процес відшукання точки мінімуму функції Метод градієнтного спуску за методом градієнтного спуску полягає в наступному: на початку вибираємо деяку початкову точку Метод градієнтного спуску і обчислюємо в ній градієнт функції Метод градієнтного спуску. Далі, робимо крок у антиградієнтному напрямку Метод градієнтного спуску (де Метод градієнтного спуску). У результаті отримуємо нову точку Метод градієнтного спуску, значення функції в якій зазвичай менше  за значення функції в точці Метод градієнтного спуску. Якщо ця умова не виконується, тобто значення функції не змінилося або навіть зросла, то потрібно зменшити крок Метод градієнтного спуску (Метод градієнтного спуску), після чого, у новій точці обчислюємо градієнт і знову робимо крок у зворотному до нього напрямку Метод градієнтного спуску.

Читати повністю

Мінімізація функції двох змінних методом покоординатного спуску засобами Delphi

Програма призначена для знаходження точки мінімуму функції двох змінних з заданою точністю. У програмі реалізовано метод покоординатного спуску, який для знаходження розв'язку вимагає вибір точки початкового наближення. Зауважимо, що від вибору даної точки залежить процес збіжності методу. Результатом роботи програми є вивід точки  мінімуму та значення функції в даній точці.

Метод покоординатного спуску на Delphi

Інтерфейс програми, яка знаходить мінімальне значення функції двох змінних використовуючи метод покоординатного спуску

Читати повністю

Оптимізація функції багатьох змінних методом покоординатного спуску

Нехай дано деяку функцію Метод покоординатного спуску для якої потрібно визначити мінімальне значення. Для цього, в якості початкового наближення, виберемо деяку точку Метод покоординатного спуску. Далі, підставимо в функцію Метод покоординатного спуску всі точки початкового наближення крім першої. Тоді отримаємо функцію однієї змінної Метод покоординатного спуску. Знайшовши для даної функції точку мінімуму, переходимо від точки Метод покоординатного спуску до точки Метод покоординатного спуску в якій функція Метод покоординатного спуску приймає мінімальне значення по координаті Метод покоординатного спуску. У цьому полягає перший крок процесу оптимізації, що складається в спуску по координаті Метод покоординатного спуску (для знаходження точки мінімуму функції однієї змінної можна використовувати наступні методи: методом дихотомії, методом Фібоначі, методом золотого перетину,...).

Підставимо тепер в функцію Метод покоординатного спуску всі координати точки Метод покоординатного спуску крім Метод покоординатного спуску, і розглянемо функцію виду Метод покоординатного спуску. Знову вирішуючи одновимірну задачу оптимізації, знаходимо нову точку Метод покоординатного спуску, в якій функція Метод покоординатного спуску приймає мінімальне значення по координаті Метод покоординатного спуску. Аналогічним чином проводиться спуск по координатах Метод покоординатного спуску після чого процедура знову повторюється від Метод покоординатного спуску до Метод покоординатного спуску. В результаті даного процесу отримуємо послідовність точок Метод покоординатного спуску в яких значення цільової функції складають монотонно спадну послідовність Метод покоординатного спуску. Відмітимо, що на будь-якому Метод покоординатного спуску-му кроці данний процес можна призупинити, і в якості мінімального значення функції приймається  Метод покоординатного спуску.

Читати повністю

Наступна сторінка »