Часткова проблема власних значень матриці. Степеневий метод

Нехай маємо деяку матрицю Степеневий метод і нехай її власні значення впорядковані по абсолютній величині наступним чином: Степеневий метод. Тоді, вибравши деякий вектор Степеневий метод, наприклад, вектор, компоненти якого дорівнюють одиниці Степеневий метод, для визначення Степеневий метод можна побудувати наступний ітераційний процес:

Степеневий метод

де Степеневий метод і Степеневий метод — відповідні компоненти векторів Степеневий метод та Степеневий метод. При цьому в якості номера Степеневий метод може використовуватися будь-яке число з діапазону Степеневий метод.

У зв'язку з тим, що вектор Степеневий метод на Степеневий метод-й ітерації може бути представлений у вигляді Степеневий метод, то розглядуваний ітераційний процес носить назву "Степеневий метод". При виконанні умов (1) ітераційний процес збігається до шуканого власного значення Степеневий метод і відповідного йому власного вектора, причому швидкість збіжності визначається відношенням Степеневий метод (чим дане відношуння менше, тим вища швидкість збіжності).

В якості критерію завершення обчислювального процесу, в степеневлму методі використовується наступна умова: Степеневий метод, де Степеневий метод — задана точність розрахунку.

Проте, незважаючи на свою простоту, розглянутий вище алгоритм має один істотний недолік, який полягає у тому, що під час ітераційного процесу відбувається сильне зростання компонентів вектора Степеневий метод (розгядуваний нижче приклад істотно ілюструє даний недолік). Для того, щоб уникнути необмеженого зростання (при Степеневий метод) або зменшення (при Степеневий метод) компонентів Степеневий метод у міру збільшення числа ітерацій Степеневий метод, зазвичай при проведенні комп'ютерних розрахунків застосовується степеневий метод з нормуванням ітерційного вектора. З цією метою алгоритм (2) модифікується наступним чином:

Степеневий метод

При цьому в якості початкового наближення Степеневий метод береться вектор з одиничною нормою. Також відмітимо, що це не єдина модифікація степеневого методу. На практиці також широко поширена версія, яка використовує скалярний добуток векторів:

Степеневий метод

Степеневий метод — приклад:

Для заданаї матриці Степеневий метод, знайти максимальне по модулю власне значення з точністю Степеневий метод приклад:

Степеневий метод приклад

В якості початкового наближення для власного вектора візьмемо Степеневий метод приклад. Далі, скориставшись формулою (2) реалізуємо ітераційний процес степеневого методу:

Степеневий метод приелад

Таким чином, отримане на п'ятій ітерації значення Степеневий метод приклад задовольняє заданій точності і може бути взято в якості наближеного значення Степеневий метод.

Блок-схема алгоритму обчислення максимальеного власного значення матриці використовуючи степеневий метод:

Степеневий метод алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар