Часткова проблема власних значень матриці. Степеневий метод

Нехай маємо деяку матрицю і нехай її власні значення впорядковані по абсолютній величині наступним чином: . Тоді, вибравши деякий вектор , наприклад, вектор, компоненти якого дорівнюють одиниці , для визначення можна побудувати наступний ітераційний процес:

де і  — відповідні компоненти векторів та . При цьому в якості номера може використовуватися будь-яке число з діапазону .

У зв'язку з тим, що вектор  на -й ітерації може бути представлений у вигляді , то розглядуваний ітераційний процес носить назву "Степеневий метод". При виконанні умов (1) ітераційний процес збігається до шуканого власного значення і відповідного йому власного вектора, причому швидкість збіжності визначається відношенням (чим дане відношуння менше, тим вища швидкість збіжності).

В якості критерію завершення обчислювального процесу, в степеневлму методі використовується наступна умова: , де  — задана точність розрахунку.

Проте, незважаючи на свою простоту, розглянутий вище алгоритм має один істотний недолік, який полягає у тому, що під час ітераційного процесу відбувається сильне зростання компонентів вектора  (розгядуваний нижче приклад істотно ілюструє даний недолік). Для того, щоб уникнути необмеженого зростання (при ) або зменшення (при ) компонентів  у міру збільшення числа ітерацій , зазвичай при проведенні комп'ютерних розрахунків застосовується степеневий метод з нормуванням ітерційного вектора. З цією метою алгоритм (2) модифікується наступним чином:

При цьому в якості початкового наближення  береться вектор з одиничною нормою. Також відмітимо, що це не єдина модифікація степеневого методу. На практиці також широко поширена версія, яка використовує скалярний добуток векторів:

Степеневий метод — приклад:

Для заданаї матриці , знайти максимальне по модулю власне значення з точністю :

В якості початкового наближення для власного вектора візьмемо . Далі, скориставшись формулою (2) реалізуємо ітераційний процес степеневого методу:

Таким чином, отримане на п'ятій ітерації значення задовольняє заданій точності і може бути взято в якості наближеного значення .

Блок-схема алгоритму обчислення максимальеного власного значення матриці використовуючи степеневий метод: