Часткова проблема власних значень матриці. Степеневий метод
Нехай маємо деяку матрицю і нехай її власні значення впорядковані по абсолютній величині наступним чином:
. Тоді, вибравши деякий вектор
, наприклад, вектор, компоненти якого дорівнюють одиниці
, для визначення
можна побудувати наступний ітераційний процес:
де і
— відповідні компоненти векторів
та
. При цьому в якості номера
може використовуватися будь-яке число з діапазону
.
У зв'язку з тим, що вектор на
-й ітерації може бути представлений у вигляді
, то розглядуваний ітераційний процес носить назву "Степеневий метод". При виконанні умов (1) ітераційний процес збігається до шуканого власного значення
і відповідного йому власного вектора, причому швидкість збіжності визначається відношенням
(чим дане відношуння менше, тим вища швидкість збіжності).
В якості критерію завершення обчислювального процесу, в степеневлму методі використовується наступна умова: , де
— задана точність розрахунку.
Проте, незважаючи на свою простоту, розглянутий вище алгоритм має один істотний недолік, який полягає у тому, що під час ітераційного процесу відбувається сильне зростання компонентів вектора (розгядуваний нижче приклад істотно ілюструє даний недолік). Для того, щоб уникнути необмеженого зростання (при
) або зменшення (при
) компонентів
у міру збільшення числа ітерацій
, зазвичай при проведенні комп'ютерних розрахунків застосовується степеневий метод з нормуванням ітерційного вектора. З цією метою алгоритм (2) модифікується наступним чином:
При цьому в якості початкового наближення береться вектор з одиничною нормою. Також відмітимо, що це не єдина модифікація степеневого методу. На практиці також широко поширена версія, яка використовує скалярний добуток векторів:
Степеневий метод — приклад:
Для заданаї матриці , знайти максимальне по модулю власне значення з точністю
:
В якості початкового наближення для власного вектора візьмемо . Далі, скориставшись формулою (2) реалізуємо ітераційний процес степеневого методу:
Таким чином, отримане на п'ятій ітерації значення задовольняє заданій точності і може бути взято в якості наближеного значення
.