Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу

Якщо таблиця значень функції дана не з постійним кроком, тобто проміжки між суміжними значеннями аргументу різні в різних місцях таблиці, то різниці між суміжними значеннями функції не можуть служити для опису зміни даної функції. В такому випадку для цього використовують величини, яку називають розділеними різницями.

Нехай функція  задана таблично:

njyton_interpolnerivn2

Таблиця фіксованих значень функції

де . Розділеною різницею першого порядку двох табличних значень називається відношення різниці значень функції до різниці відповідних значень аргументу. Це визначення застосовне для будь-якої пари значень аргументу, але зазвичай використовується для суміжних значень. Позначення розділених різниць першого порядку будуються так, щоб були вказані взяті табличі значення аргументу. Так, для приведеної вище таблиці розділені різниці першого порядку позначаються та обчислюються наступним чином:

Читати далі

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Другу інтерполяційну формулу Ньютона доцільно використовувати в тому випадку, коли інтерполяція функції здійснюється в кінці проміжку. Отже, розглянемо деяку функцію ii_interpolacijna_formyla_nytona1 для якої відомі значення ii_interpolacijna_formyla_nytona2 для рівновіддалених вузлів ii_interpolacijna_formyla_nytona3. Для отриманя другої інтерполяційної формули Ньютона, інтерполяційний поліном запишемо у наступному вигляді:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Використовуючи узагальнену степінь числа, даний поліном запишемо наступним чином:

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Тобто, аналогічно першій інтерполяційній формулі Ньютона, задача полягає у знаходженні коефіцієнтів Друга інтерполяційна формула Ньютона таким чином, щоб виконувалась умова Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Для цього, в формулі (1) покладемо Друга інтерполяційна формула Ньютона. В результаті отримаємо Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Читати далі

Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Нехай для функції Перша інтерполяційна формула Нютона задані значення i_interpolacijna_formyla_nytona2 для рівновіддалених вузлів, тобто i_interpolacijna_formyla_nytona31, де h крок інтерполяції. Потрібно знайти поліном i_interpolacijna_formyla_nytona4, степінь якого не перевищує n, і який в точках i_interpolacijna_formyla_nytona5 набуває значень i_interpolacijna_formyla_nytona61.

Даний поліном будемо шукати у наступному вигляді:

i_interpolacijna_formyla_nytona71

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (2) запишемо у наступному вигляді:

i_interpolacijna_formyla_nytona8

Задача полягає у знаходженні коефіцієнтів i_interpolacijna_formyla_nytona91. У виразі (2) покладемо i_interpolacijna_formyla_nytona10. В результаті отримаємо i_interpolacijna_formyla_nytona11.

Для того, щоб знайти коефіцієнт i_interpolacijna_formyla_nytona12 запишемо скінченну різницю першого порядку (скінченною різницею першого порядку називають різницю між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції, тобто, i_interpolacijna_formyla_nytona26):

Читати далі

Програмна реалізація інтерполяційної формули Ньютона для нерівновіддалених вузлів інтерполяції

Програма виконує інтерполяцію функції для нерівновіддалених значень аргументу і використовує для цього ітерполяційний поліном Ньютона. Інтерфейс програми простий та зрозумілий у використанні. Ліва частина форми містить область вхідних даних, яка складається з таблиці StringGrid у комірки якої, способом введення з клавіатури, записуються відомі знячення аргументу та функції. Праву частину форми займає компонент типу TChart, який відображає вузли інтерполяції та графік досліджуваної функції. І, нарешті, в нижній частині форми розташована панель інструментів, яка складається з трьох кнопок типу TButton, одного поля вибору типу TSpinEdit та одного поля вводу типу TEdit. Розглянемо призначення кожного з цих компонентів більш детально:

  1. Поле вибору “Розмір таблиці” відповідає за число заданих вузлів інтерполяції досліджуваної функції і степінь інтерполяційного многочлена.
  2. Кнопка “Інтерполювати” призначена для побудови в компоненті TChart графіка та вузлів інтерполяції.
  3. Кнопка “Очистити” видаляє з комірок таблиці StringGrid дані та видаляє всі точки побудованого графіка.
  4. Кнопка “Обчислити значення функції в точці” — обчислює значення функції в точці, значення якої задається в полі вводу TEdit (міститься в парвій частині панелі задач), а також відображає її на графіку (точка зеленого кольору).

Читати далі

Програмна реалізація другої інтерполяційної формули Ньютона для рівновіддалених вузлів в середовищі програмування Delphi

Основним завданням даної програми є обчислення значення функції, яка заданої таблично, в точках, які не збігаються з вузлами, використовуючи при цьому другу інтерполяційну формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів.

Ми не будемо детально розглядати призначення кожного елементу головної форми delphi-проекту, виходячи з того, що він аналогічний проекту, який було розроблено для реалізації першої інтерполяційної формули Ньютона. Тому для більш детальної інформації можна перейти за посиланням “перша інтерполяційна формула Ньютона на Delphi“. А покажемо лише працездатність програми на конкретному прикладі. Для цього введемо всі необхідні дані, після чого натиснемо кнопку “Обчислити значення функції в точці”.

Результат виконання програми "Друга інтерполяційна формула Ньютона"

Результат виконання програми "Друга інтерполяційна формула Ньютона"

Читати далі

Програмна реалізація першої інтерполяційної формули Ньютона

Програму було розроблено з метою надання можливості за допомогою ЕОМ обчислслювати наближені значення функції у випадку, коли вона задана таблично і використовуючи для цього інтерполяційну формулу Ньютона першого порядку для рівновіддалених вузлів.

Після запуску програми на екраны з’явиться форма виду:

Перша інтерполяційна формула Ньютона на Delphi

Головне вікно програми "Перша інтерполяційна формула Ньютона"

Далі, використовуючи поле “Розміри таблиці”, вибираємо необхідну кількість рядків для таблиці яку будемо заповнювати  даними фіксованих значень функції. Після того, як таблиця заповнена, натискаємо кнопку “Інтерполювати”. В результаті програма виконає необхідні обчислення і видасть результат у вигляді графіка.

Читати далі

Використання інтерполяційних методів для ровз’язку нелінійних рівнянь

Ідея інтерполяційних методів полягає в тому, що задача знаходження коренів рівняння на проміжку , замінюється задачею знаходження коренів інтерполяційного полінома , побудованого для функції .

Розглянемо випадок, коли для  будується інтерполяційний поліном першого порядку інтерполяційний метод першого порядку. Припустимо, що нам відомі наближення і до кореня рівняння (1) (відмітимо, що в якості нульового і першого наближень зазвичай беруться наступні знаення або , де – достатньо мале число). Вибравши їх в якості вузлів інтерполяції, побудуємо для функції  інтерполяційний поліном у формі Ньютона для нерівновіддалених значень аргументу:

де – розділена різниця першого порядку. Замінюючи в рівнянні (1) функцію  інтерполяційним поліномом (2), одержимо лінійне рівняння . Приймаючи його розв’язок за нове наближення, приходимо до інтерполяційного методу першого порядку:

Відмітимо, що процес знаходження розв’язку рівняння (1) згідно інтерполяційного методу першого порядку, як і будь-якого іншого методу рішення задач такого типу, необхідно продовжувати до тих пір, поки модуль різниці між двома сусідніми значеннями наближень не стане меншим за деяке число , тобто .

Читати далі

Інтерполяція функції двох змінних

Нехай функція задана на системі рівновіддалених точок interpol_func_2vars2, де , причому . Ввівши позначення відомі значення функції можна оформити у вигляді таблиці з двома входами:

Таблиця фіксованих значень функції двох змінних

Таблиця фіксованих значень функції двох змінних

Інтерполювання функції двох змінних , тобто знаходження її не табличних значень, здійснюється в два етепи, кожен з яких полягає  у інтерполяції функції від однієї змінної та відповідно.

Читати далі

Задача оберненого інтерполювання для випадку рівновіддалених вузлів

Нехай функція задана таблично. Задача оберненого інтерполювання полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргумента . Розглянемо даний алгоритм більш детально, для випадок рівновіддалених вузлів, в якому зазвичай використовується метотод послідовних наближень.

Припустимо, що функція монотонна і її значення , для якого необхідно визначити значення аргументу міститься між та . Замінюючи функцію  першим інтерполяційним многочленом Ньютона, будемо мати:

звідси , де .

Далі, взявши за початкове наближення , для останнього рівняння застосуємо метод простої ітерації. В результаті отримаємо:

Читати далі

Перша та друга інтерполяційні формули Гаусса

Нехай маємо Інтерполяційна формула Гаусса рівновіддалених вузлів інтерполяції Інтерполяційна формула Гаусса, де Інтерполяційна формула Гаусса, і для деякої функції Інтерполяційна формула Гаусса відомо її значення в даних вузлах, тобто Інтерполяційна формула Гаусса. Задача полягає у побудові інтерполяційного полінома, степінь якого не перевищує Інтерполяційна формула Гаусса і значення якого у візлах інтерполяції співпадає з відомими значеннями функції (Інтерполяційна формула Гаусса).

Даний поліном будемо шукати в наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (1) перепишемо у наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Читати далі