Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусса з вибором головного елемента в середовищі програмування Delphi

Знаходження розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь являється однією з основних задач лінійної алгебри, а метод Гаусса (також називають методом послідовного виключення невідомих) – одним з найпоширеніших методів для рішення систем такого виду. Даний метод відомий в різних модифікаціях, серед яких виділяють метод Гаусса з вибором головного елемента.

Метод головних елементів також заснований на приведенні матриці системи до трикутного вигляду. Проте, на відміну від класичного методу Гаусса, в методі головних елементів алгоритм приведення матриці до такого вигляду дещо відрізняється. На прершому кроці, серед елементів матриці системи вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпчику вільних членів. Нехай це буде елемент, який знаходиться в i-му рядку та j-й колонці (головний елемент). Далі, виключаємо з усіх рівнянь системи крім рівняння під номером i, невідому Xj. В результаті отримуємо матрицю, j-й стовпець якої складається з нульових елементів. Викрисливши з розгляду рядок і колонку в яких міститься головний елемен переходимо до нової матриці, яка складається з меншої на одиницю кількості рядків і колонок.

Читати далі

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв’язок:

Метод Гаусса з вибором ведучого елемента

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Метод Гаусса з вибором головного елемента

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто Метод Гаусса з вибором головного елемента. Нехай це буде елемент Метод Гаусса з вибором головного елемента (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером Метод Гаусса з вибором головного елемента, обчислюємо множники:

Читати далі

Метод Гаусса. Розв’язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться в два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми – прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід: нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Нехай (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на отримаємо:

Читати далі

Розв’язок СЛАР методом Жордана-Гаусса в середовищі програмування Delphi

Програма знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь довільній розмірності методом Жордана-Гаусса. В основу алгоритму даного методу покладено ідею приведення матриці коефіцієнтів до діагонального вигляду. Слід зазначити, що перетворення, які здійснюються для приведення матриці коефіцієнтів до такого вигляду, необхідно проводити і для елементів стовпця вільних членів. В результаті виконання даного алгоритму, елементи стовпця вільних членів міститимуть значення, які являтимуться шуканим розв’язком системи. Більш детальну інформацію про метод Жордана-Гаусса можна знайти за посиланням розв’язок СЛАР методом Жордана-Гаусса.

Після запуску програми перед Вами з’явитися робоче вікно програми, в якому, на сам перед, необхідно вказа розмірність системи (оскільки система розміру n на n потрібно ввести тільки одне число).

Метод Жордана-Гаусса на Delphi

Інтерфейс програми, яка для розв'язку СЛАР використовує алгоритм методу Жордана-Гаусса

Далі, заповнюємо матрицю коефіцієнтів та стовпець вільних членів (зображені у вигляді компонентів TStringGrid) відповідними даними, вибираємо модифікацію методу Жордана-Гагусса, після чого натискаємо кнопку “Розв’язати систему рівнянь”.

Читати далі

Метод Жордана-Гаусса. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса являється однією з модифікацій методу Гаусса і знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою даного методу зводиться до перетворення вихідної системи до системи з одиничною або діагональною матрицею. Тобто основна відмінність між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що при реалізації останнього, елементи матриці обнулюються як під, так і над головною діагоналлю, а значення діагональних елементів стають рівними одиниці. В результаті даного перетворення елементи вектора вільних членів являтимуться шуканим розв’язком системи.

Розглянемо даний метод більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

метод Жордана-Гаусса

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з Метод Жордана-Гаусса циклів, в кожному з яких послідовно за допомогою Метод Жордана-Гаусса-го рядка виключаються елементи при невідомій Метод Жордана-Гаусса в кожному рядку матриці коефіцієнтів, крім Метод Жордана-Гаусса-го. Дана схема реалізується наступним чином:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса (реалізація в середовищі Delphi)

В математиці існує декілька способів знаходження оберненої матриці. Проте найбільш використовуваними при рішенні задач такого типу, являються два методи: метод алгебраїчних доповнень, при якому потрібно знаходити визначники і транспонувати матриці; метод виключення невідомих Гаусса, при якому, над матрицями, необхідно здійснювати елементарні перетворення (складати рядки, множити рядки на одне і те ж число, додавати до елементів одного рядка відповідні елементи іншого рядка, помножені на будь-який множник).

Виходячи з того, що програмну реалізацію першого способу нами вже було розглянуто (міститься за посиланням метод алгебраїчних доповнень – реалізація в середовищі delphi), то сьогодні зосередимо свою увагу на delphi-проекті, що реалізує процес знаходження оберненої матриці за методом Гаусса.

Головна форма розглядуваного delphi-проекту

Зазначимо, що при створенні програми були використані delphi-компоненти наступного типу: TPanle, TLable, TSpinEdit, TButton, TStringGrid і TStatusBar. Розглянемо призначення кожного з них більш детально.

Читати далі

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Як нам відомо, метод Гаусса являється універсальним та найбільш використовуваним інструментом при рішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Проте це не єдина задача, для розв’язку якої використовується цей метод. У даному параграфі продемостріруємо застосування методу виключення невідомих Гаусса при обчисленні оберненої матриці (оберненою називається матриця, при множенні на яку вихідна матриця перетворюється на одиничну, тобто ). Практично цей найбільш простий спосіб обчислення оберненої матриці полягає в наступному: якщо взяти одиничну матрицю і провести над нею елементарні перетворення, які приводять квадратну невироджену марицю до одиничної, то в результаті матриця  перетвориться на обернену матрицю до матриці .

Розглянемо алгоритм приведення матриці  порядку до одиничної більш детально.

Отже, на першому етапі (прямий хід методу Гаусса), приведемо матрицю  до верхньої трикутної, елементи головної діагоналі якої рівні одиниці. Для цього, на першому кроці, помножемо перший рядок матриці  на число . В результаті отримаємо матрицю, елемент якої рівний одиниці. Далі, від елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка помножені на , від елементів третього віднімаємо елементи першого рядка помножені на і так далі. На -му кроці від елементів го рядка віднімаємо елементи першого, помножені на . Зазначимо, що після виконання цих дій, матриця  прийме наступного вигляду:

Читати далі

Обчислення визначника матриці методом Гаусса (реалізація в середовищі Delphi)

При розвя’занні задач з прикладної математики, доволі часто виникає необхідність в обчисленні  визначника матриці високого порядку. Проте, обчислення таких  визначників ручним способом є доволі трудоємким і складним процесом. Тому в даному параграфі нами буде розглянута delphi-програма, яка дозволяє обчислити визначник квадратної матриці, порядок якої не перевищує 10. При цьому використовується один з найбільш відомих чисельних методів, а саме метод Гаусса. Основна суть даного методу полягає в тому, що, на першому кроці, за допомогою елементарних перетворень задана матриця приводиться до еквівалентної їй матриці трикутного вігляду. Після цього, обчислення детермінанта зводиться до обчислення добутку діагональних елементів трикутної матриці.

Головна форма розглядуваного delphi-проекту

Як видно з рисунка, розроблений delphi-проект складається з однієї форми і наступних візуальних компонентів: таблиця типу TStringGrid (призначена для введення елементів квадратної матриці), редактор типу TSpinEdit (відповідає за розмірність матриці детермінант якої відшукується), текстова мітка типу TLable (використовується для пояснювальних підписів), дві кнопки TButton (призначені для обчислення визначника та підготовки delphi-програми до нового прикладу) і статусний рядка TStatusBar (призначений для виводу результатів роботи програми).

Читати далі

Обчислення визначника матриці методом Гаусса

Розглядаючи розрахункові формули обчислення визначників матриці 2х2 та матриці 3х3 нами також було розглянуто, такзване, загальне правило обчислення визначників -о порядку. Проте, як видно з прикладу, навіть для матриць розмірність яких не перевищує чотири, дана схема являється довілі складною і вимагає великого обсягу обчислень. Проте, скориставшись відомим фактом, який говорить про те, що для обчислення визначників будь-якого порядку можна використовувати алгоритми точних методів, призначених для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, процес рішення задач такого типу можна значно спростити. Наприклад, результати перетворень прямого ходу методу Гаусса зводять матрицю до такої форми, яка дає змогу легко обчислити її визначник (визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів). Розглянувши деяку квадратну матрицю  розмірності  покажемо яким чином це реалізується.

Отже, згідно з алгоритмом методу Гаусса, для приведення матриці (1) до еквівалентної їй матриці трикутного вигляду, на першому етапі, замінимо другий, третій,…, -й рядки матриці , на рядки, які отримують в результаті додавання цих рядків до першого, помноженого на відповідно. Результатом виконання даного етапу буде матриця наступного вигляду:

Читати далі