Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть на плоскости  содержится прямая задана своим уравнением в общем виде  и некоторая точка , которая не лежит на данной прямой. Через точку  проведем перпендикуляр к заданной прямой и обозначим точку их пересечения через . Тогда расстояние от точки  до прямой  будет равно расстоянию между точками  и .

Расстояние между точкой и прямой

Выведем формулу для вычисления расстояния от точки до прямой. Для этого приведем уравнение заданной прямой к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом:

где . Далее, используя условие перпендикулярности двух прямых, найдем угловой коэффициент проведенного с точки  перпендикуляра, после чего, запишем для него уравнение прямой:

Координаты точки , как общей точки прямых (1) и (3), найдем, решив систему уравнений составленную из уравнений данных прямых. В результате получим:

После этого, подставляя полученные значения в формулу вычисления расстояния между двумя точками (в нашем случае между точками  и ), находим расчетную формулу для вычисления расстояния от точки до заданной прямой:

Замечание: исходя из того, что расстояние от точки до прямой есть величина неотрицательная, то правая части формулы (5) взята по абсолютной величине.

Расстояние от точки до прямой – пример решения:

Пусть дан треугольник . Найти длину его высоты, опущенную из вершины .

Высота треугольника как расстояние от точки A до прямой BC

Для этого, на первом шаге, запишем уравнение прямой, проходящей через две точки  и  и приведем его к уравнению в общем виде. В результате получим:

После этого, воспользовавшись формулой (5), искомую длину высоты найдем как расстояние от точки  до прямой :

Блок-схема алгоритма нахождения расстояния от точки до прямой

Материал был полезным, поделись в социальных сетях:

Если тебе понравилась данная тема, оставь свой комментарий