Параллелограмм. Определение и свойства параллелограмма

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (частными случаями параллелограмма является прямоугольник, квадрат и ромб).

Замечание: если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником; если диагонали параллелограмма перпендикулярны между собой, то этот параллелограмм является ромбом; если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны между собой, то этот параллелограмм является квадратом (то есть квадрат объединяет признаки прямоугольника и ромба).

Высота параллелограмма – это перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащею противоположную сторону. На рисунке ниже, каждый из отрезков  является высотой параллелограмма . При этом, говорят что высоты  проведено к сторонам  и , а высоты  - к сторонам  и  соответственно.

Изображение параллелограмма и его высоты

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны. Для того, чтобы доказать это утверждение рассмотрим параллелограмм , проведем одну из его диагоналей, а именно , и покажем, что треугольники  и  равны между собой.

    Противоположные стороны параллелограмма равны

    Итак, исходя из того, что в этих треугольников сторона  - общая, углы 1 и 2 равны как разносторонние при параллельных прямых  и  и секущей , углы 3 и 4 равны как разносторонние при параллельных прямых  и  и секущей , приходим к выводу, что треугольники  и  рывны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда  и .

  2. Противоположные углы параллелограмма равны. Для доказательства свойства номер два опять-таки рассмотрим параллелограмм из рисунка выше, и покажем, что  и . Итак, при доказательства предыдущей свойства, было установлено, что . Отсюда, . Из равенства углов 1 и 2, 3 и 4 следует, что . Итак, .

  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. На рисунке ниже, изображено параллелограмм , диагонали которого пересекаются в точке . Докажем, что  и . Для этого, рассмотрим треугольники  и . Исходя из того, что  и  и  равны между собой как разносторонние при параллельных прямых  и  и секущих  и  соответственно, то, воспользовавшись свойством номер один, получим: . Итак, треугольники  и  равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда  и .

    Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Найти стороны параллелограмма – пример решения:

Биссектриса тупого угла параллелограмма  делит его сторону в отношении , двигаясь от вершины острого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен .

Пусть биссектриса тупого угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . Тогда, по условию, . Углы  и  равны, также по условию. Углы  и  равные как разносторонние при параллельных прямых  и  и секущей . Тогда . Итак, треугольник  равнобедренный, что свидетельствует о том, что .

Параллелограмм ABCD

Предположим теперь, что . Тогда , а . Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то его периметр вычисляется по формуле . Отсюда, исходя из того, что, по условию, периметр параллелограмма равен , получим: . Следовательно,  и .

Блок-схема алгоритма проверки является ли четырехугольник параллелограммом

Материал был полезным, поделись в социальных сетях:

Если тебе понравилась данная тема, оставь свой комментарий