Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки

Нахождение решения системы линейных уравнений, является одной из наиболее важных задач линейной алгебры. Отметим, что на данном сайте рассматривается большое количество точных и итерационных численных методов (метод Крамера, метод Гаусса, метод простой итерации и другие), решения задач такого типа. Сегодня, дополним его еще одним методом, который в отличие от рассмотренных, является менее универсальным, то есть решает системы малой размерности, а именно системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и называется методом подстановки.

Основная суть метода подстановки заключается в том, что в одном из уравнений системы (не важно каком) одна неизвестная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы, вместо соответствующей неизвестной, подставляется выражение (полученный на предыдущем шаге), которому соответствует эта неизвестна. Рассмотрим данный процесс более детально. Для этого предположим, что нам необходимо найти решение система линейных уравнений вида:

Для того чтобы решить данную систему методом подстановки будем следовать простому алгоритму:

Читать полностью

Квадратное уравнение. Вычисление дискриминанта и корней квадратного уравнения

Уравнения вида , где  - действительные числа, причем , называется квадратным уравнением. Напомним, что  называется дискриминантом квадратного трехчлена. Если , то уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые легко вычисляются по следующим формулам:

Заметим, что найдя корни  и  квадратное ривння (1) можно представить в следующем виде:

Если , то уравнение (1) имеет два корня, значения которых совпадают, и вычисляются по формуле:

Аналогично предыдущему случаю, найдя корни квадратного уравнения дискриминант которого равен нулю, его можно представить в виде:

Если же , то уравнение (1) действительных корней не имеет, а имеет два комплексных сопряженных корня. Формулы для их вычисления записываются следующим образом:

Читать полностью

Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора ,  и . Вектор  умножим векторно на , векторное произведение  умножим скалярно на , в результате получаем число, которое называют векторно-скалярным произведением или смешанным произведением  из трех векторов . Смешанное произведение обозначается .

Векторно-скалярное произведение  из трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком плюс, если тройка  - права и со знаком минус, когда эта тройка – левая.

Иллюстрация к определению смешанного произведения

Действительно, . Здесь  - площадь параллелограмма, построенного на векторах ,  и  - высота параллелепипеда. Таким образом, .

Читать полностью

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов  и  называется третий вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

  1. Вектор  перпендикулярен каждому из векторов  и .
  2. Длина вектора  равна площади паралелограмма, построенного на векторах  и , то есть , где  - угол между данными векторами.
  3. Векторы ,  и  образуют правую тройку.

Для векторного произведения, так же как и для скалярного, используются различные обозначения, а именно  и . Мы же будем придерживаться первого из них, то есть .

Иллюстрация к определению векторного произведения

Замечание: некомпланарные векторы , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца вектора  кратчайший поворот от  к  наблюдается против хода часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой.

Читать полностью

Скалярное произведение векторов

Под скалярным произведением двух векторов  и  понимают число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

где  - меньший угол между векторами  и  (). Вместе с символом  в литературе часто используются и другие обозначения, а именно  или .

Поскольку проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на косинус угла наклона вектора к этой оси, то имеем:

Тогда, формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго вектора на ось, направление которой определяется первым вектором.

Читать полностью

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор  и ось . С концов вектора опустим перпендикуляры на ось (точки  и ) и образуем вектор .

Проекцией вектора  на ось  называют длину вектора , взятую со знаком «плюс», если направления вектора  и оси  совпадают, и со знаком «минус», если указанные направления противоположны.

Иллюстрация к определению проекции вектора на ось

Проекцию вектора будем обозначать через  или , где  - любой ненулевой вектор, задающий направление проектирования.

Читать полностью

Умножение вектора на число

Произведением вектора  на число  называется вектор , коллинеарной вектору , который имеет длину  и направлен в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную, если  (для обозначения используют запись ).

Умножение вектора на число

Замечание: если вектор  задан своими координатами  и , то произведение этого вектора на число  - это вектор , координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора , умноженным на число : .

Читать полностью

Следующая страница »