Скалярное произведение векторов

Под скалярным произведением двух векторов  и  понимают число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

где  - меньший угол между векторами  и  (). Вместе с символом  в литературе часто используются и другие обозначения, а именно  или .

Поскольку проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на косинус угла наклона вектора к этой оси, то имеем:

Тогда, формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго вектора на ось, направление которой определяется первым вектором.

Читать полностью

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор  и ось . С концов вектора опустим перпендикуляры на ось (точки  и ) и образуем вектор .

Проекцией вектора  на ось  называют длину вектора , взятую со знаком «плюс», если направления вектора  и оси  совпадают, и со знаком «минус», если указанные направления противоположны.

Иллюстрация к определению проекции вектора на ось

Проекцию вектора будем обозначать через  или , где  - любой ненулевой вектор, задающий направление проектирования.

Читать полностью

Умножение вектора на число

Произведением вектора  на число  называется вектор , коллинеарной вектору , который имеет длину  и направлен в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную, если  (для обозначения используют запись ).

Умножение вектора на число

Замечание: если вектор  задан своими координатами  и , то произведение этого вектора на число  - это вектор , координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора , умноженным на число : .

Читать полностью

Сложение и вычитание векторов

Пусть  и  - два произвольных вектора. С помощью параллельного переноса приведем вектор  к произвольной точке , а затем с конца этого вектора отложим вектор . Суммой этих векторов  будет вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом  (правило треугольника).

Сложения векторов – правило треугольника

Для нахождения суммы векторов  можно также пользоваться правилом параллелограмма, согласно которому векторы  и  приводят к общему начала (точка ) и строят на этих векторах, как на смежных сторонах, параллелограмм. Тогда его диагональ, исходящая из общей вершины , и будет суммой векторов .

Читать полностью

Определение вектора. Направление и длина вектора

В повседневной практике мы имеем дело с величинами двух видов. Одни из этих величин такие, как температура, время, масса, длина, площадь можно определить одним числовым значением, другие же величины, такие, как сила, скорость, ускорение можно определить только тогда, когда известно не только их числовое значение, но и направление в пространстве. Величины первого вида называют скалярными величинами или скалярами. Величины второго вида называют векторными величинами.

Каждую векторную величину геометрически можно изобразить направленным прямолинейным отрезком – вектором, длина которого равна числовому значению векторной величины (в выбранном масштабе) и направление совпадает с направлением этой величины.

Иллюстрация к определению вектора

Вектор определяют двумя точками: первая – это начало, вторая – его конец. При этом, положительным направлением вектора считается направление от его начальной до конечной точки, например, вектор  имеет начало в точке  и конец в точке  (стрелка указывает направление вектора).

Читать полностью

Площадь круга и сектора круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. То есть круг радиуса  с центром  содержит точку  и все точки плоскости, находящиеся от данной точки на расстоянии, не более чем .

Нахождение площади круга с помощью многоугольников

Выведем формулу, которая позволит найти площадь круга радиус которого равен . Для этого рассмотрим правильный -угольник , вписанный в окружность, ограничивающую круг. Очевидно, площадь  данного круга больше площади  многоугольника , так как он полностью содержится в окружности. С другой стороны, площадь  круга, вписанного в многоугольник, меньше , так как этот круг полностью содержится в данном многоугольнике. Итак:

Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон -угольник. Отметим, что в таком случае будет увеличиваться и радиус  вписанной в многоугольник окружности и при  величина  будет как угодно мало отличаться от , а следовательно,  приближаться к единице, поэтому . Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, вписанная в него окружность совпадает с описанной окружностью, поэтому  при . Отсюда и из неравенства (1) следует, что  при .

Читать полностью

Длина окружности и дуги окружности

В своей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с задачами, которые связаны с вычислением периметра, то есть суммы длин сторон различных геометрических фигур. В случае, если геометрическая фигура – многоугольник, нахождение его периметра не составляет особого труда: для этого достаточно определить длину каждой из сторон и сложить полученные результаты. Что же делать, если необходимо найти длину окружности? Ответу на этот вопрос и посвящен данный параграф.

Итак, как известно, периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины этой окружности. Чем больше число сторон многоугольника, тем точнее это приближенное значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе прилегает к окружности. Точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Нахождение длины окружности с помощью многоугольников

Воспользовавшись данным фактом, выведем формулу, которая позволит найти длину окружности через его радиус. Для этого, рассмотрим две окружности радиус которых равен  и  соответственно. Впишем в каждую из них правильный -угольник и обозначим через  и  их периметры, а через  и  их стороны. Тогда, используя формулу для нахождения стороны правильного многоугольника (), получим:

Читать полностью

Следующая страница »