Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта

Нехай на відрізку [a,b] потрібно знайти чисельний розв'язок диференціального рівняння:

139

з початковою умовою 222. Розіб'ємо  відрізок [a,b] на n рівних частин точками 12, де 512. В методі Рунге-Кутта послідовні значення 3 шуканої функції 4 визначаються по формулі:

5

Якщо розкласти функцію 4 в ряд Тейлора та обмежитись членами до 6 включно, то приріст функції 7 можна представити у наступному вигляді:

9

Замість безпосередніх розрахунків, які фігурують у формулі (3), в методі Рунге-Кутта визначаються чотири числа:

10

Якщо числам 11 надати відповідно вагу 12, то середньозважене цих чисел з точністю до четвертого степеня відповідно дорівнюють 13, яке визначається по формулі (3):

14

Таким чином для кожної пари поточних значень 15 і 16 за формулами (4) визначаються значення:

17

Потім, за формулою (5) знаходиться:

18

Після чого наступне наближення обчислюють по формулі:

19

Блок-схема програмної реалізації методу Рунге-Кутта:

Метод Рунге-Кутта

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар