Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Адамса

Нехай потрібно зняйти чисельний розв'язок зажачі Коші:

110

При використанні однокрокових методів для розв'язання зідічі (1),  значення 21залежить тільки від інформації, яка міститься в одній — попередній точці 31. Припустимо, що можна досягнути більш точного результату, якщо використовувати інформацію з декількох попередніх точок 41. Дана ідея і закладена в основу багатокрокових методів.

Підставимо в рівняння (1) точний розв'язок 51 і проінтегруємо дане рівняння на інтервалі 61. В результаті будемо мати:

71

Замінимо в даній формулі функцію 8 на інтерполяційний поліном 91, отримаємо наступну формулу:

101

Для того, щоб побудувати поліном 91, припустимо, що нам відомі наближення до розв'язку в точках 41, тобто відомі значення 111. Також будемо вважати, що вузли 121 розміщені рівномірно з кроком h. Тоді 131є наближенням до функції 8в точках 41.

В якості 91 візьмемо інтерполяційний поліном k-го степеня, який задовільняє наступній умові:

141

Якщо 151, то поліном 91є константа, яка дорівнює 161, і формула (3) перетвориться в звичайний метод Ейлера.

Якщо 171, то  91 є лінійною функцією, що проходить через дві точки 181 і 191, тобто:

20

Якщо проінтегрувати даний поліном на інтервалі 61, отримаємо двокроковий метод, який використовує інформацію з двох точок 211 та 221:

23

Якщо 24, то 91 являє собою квадратичний поліном, який використовує інформацію з трьох попередніх точок і в такому випадку розрахункова формула набуде наступного вигляду:

25

Якщо ж 26, то відповідний метод буде мати наступний вид:

27

Блок-схема програмної реалізації методу Адамса:

Метод Адамса

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар