Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом Адамса

Нехай потрібно зняйти чисельний розв’язок зажачі Коші:

При використанні однокрокових методів для розв’язання зідічі (1),  значення залежить тільки від інформації, яка міститься в одній – попередній точці . Припустимо, що можна досягнути більш точного результату, якщо використовувати інформацію з декількох попередніх точок . Дана ідея і закладена в основу багатокрокових методів.

Підставимо в рівняння (1) точний розв’язок і проінтегруємо дане рівняння на інтервалі . В результаті будемо мати:

Замінимо в даній формулі функцію на інтерполяційний поліном , отримаємо наступну формулу:

Для того, щоб побудувати поліном , припустимо, що нам відомі наближення до розв’язку в точках , тобто відомі значення . Також будемо вважати, що вузли розміщені рівномірно з кроком h. Тоді є наближенням до функції в точках .

В якості  візьмемо інтерполяційний поліном k-го степеня, який задовільняє наступній умові:

Якщо , то поліном є константа, яка дорівнює , і формула (3) перетвориться в звичайний метод Ейлера.

Якщо , то   є лінійною функцією, що проходить через дві точки і , тобто:

Якщо проінтегрувати даний поліном на інтервалі , отримаємо двокроковий метод, який використовує інформацію з двох точок та :

Якщо , то  являє собою квадратичний поліном, який використовує інформацію з трьох попередніх точок і в такому випадку розрахункова формула набуде наступного вигляду:

Якщо ж , то відповідний метод буде мати наступний вид:

Блок-схема програмної реалізації методу Адамса: