Розв'язування звичайних диференціальних рівнянь методом Адамса
Нехай потрібно зняйти чисельний розв'язок зажачі Коші:
При використанні однокрокових методів для розв'язання зідічі (1), значення залежить тільки від інформації, яка міститься в одній — попередній точці
. Припустимо, що можна досягнути більш точного результату, якщо використовувати інформацію з декількох попередніх точок
. Дана ідея і закладена в основу багатокрокових методів.
Підставимо в рівняння (1) точний розв'язок і проінтегруємо дане рівняння на інтервалі
. В результаті будемо мати:
Замінимо в даній формулі функцію на інтерполяційний поліном
, отримаємо наступну формулу:
Для того, щоб побудувати поліном , припустимо, що нам відомі наближення до розв'язку в точках
, тобто відомі значення
. Також будемо вважати, що вузли
розміщені рівномірно з кроком h. Тоді
є наближенням до функції
в точках
.
В якості візьмемо інтерполяційний поліном k-го степеня, який задовільняє наступній умові:
Якщо , то поліном
є константа, яка дорівнює
, і формула (3) перетвориться в звичайний метод Ейлера.
Якщо , то
є лінійною функцією, що проходить через дві точки
і
, тобто:
Якщо проінтегрувати даний поліном на інтервалі , отримаємо двокроковий метод, який використовує інформацію з двох точок
та
:
Якщо , то
являє собою квадратичний поліном, який використовує інформацію з трьох попередніх точок і в такому випадку розрахункова формула набуде наступного вигляду:
Якщо ж , то відповідний метод буде мати наступний вид: