Розв'язок системи нелінійних рівнянь методом итерації (послідовних наближень)

Для розв'язку систем нелінйних рівнянь можна також використовувати і метод простої ітерації (послідовних наближень). Процес збіжність даного методу, на відміну від методу Ньютона, є набагато повільнішим, проте він не вимагає, на кожній ітерації, знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для простоти, розглянемо систему, яка складається з двох нелінійних рівнянь:

Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій

Згідно методу ітерації, систему (1) потрібно замінити рівносильною їй системою, наступного виду:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn2

Припустимо, що розв'язок систем (2) міститься на деякому замкнутому прямокутнику Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій, і при чому він є єдиним (metod_iteracii_sust_nelin_rivn4). Вибравши в якості початкового наближення довільну точку metod_iteracii_sust_nelin_rivn5, і використавши формули:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn6

отримаємо послідовність точок metod_iteracii_sust_nelin_rivn7, яка збігається до шуканого розв'язку системи (1). Умова збіжності методу ітерації та умова зупинки ітераційного процесу аналогічні методу Ньютона, з допомогою якого також можна розв'язувати задачі такого типу.

Розглянемо тепер один із способів приведення системи нелінійних рівнянь (1) до виду (2). Для цього праву частину системи (2) представимо в наступному вигляді:

Розв'язок системи рівнянь методом Ітерацій

Система (1) рівносильна системі (2) з правими частинами системи (5), при умові, що визначник матриці з елементами metod_iteracii_sust_nelin_rivn9, відмінний від нуля, тобто:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn10

Далі, визначемо значення коефіцієнтів metod_iteracii_sust_nelin_rivn111. Для цього, припустимо, що норма матриці Якобі дорівнює нулю в деякій точці metod_iteracii_sust_nelin_rivn121 (metod_iteracii_sust_nelin_rivn14) . Дана рівність вказує на те, що значення елементів матриці metod_iteracii_sust_nelin_rivn16рівні нулю, тобто:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn17

Скориставшись формулою (5), дане співвідношення можна переписати в наступному вигляді:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn18

В результаті отримаємо систему, яка містить чотири лінійних рівняння з невідомими metod_iteracii_sust_nelin_rivn9. Дану систему доцільно розглядати як дві незалежні системи з однаковою матрицею коефіцієнтів і різними правими частинами.

metod_iteracii_sust_nelin_rivn19

Блок-схема програмної реалізації методу ітерації для розв'яку системи двох нелінійних рівнянь:

metod_iteracii_sust_nelin_rivn20

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар