Розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод Зейделя

Нехай потрібно знайти розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР) виду (1), використовуючи при цьому метод Зейделя.

Для застосування даного методу систему (1), аналогічно, як і у методі простої ітерації, за допомогою еквівалентних перетворень необхідно привести до наступного вигляду (один із способів приведення системи (1) до виду (2) можна знайти за посиланням Розв'язок систем нелінійних рівнянь методом ітерації):

Далі, задавши початкове наближення , реалізується ітераційний процес обчислення наближень до розв'язку системи за наступними формулами:

Даний ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде виконуватись умова , де - задана точність розв'язку. Тобто бачимо, що метод Зейделя, як і для випадку лінійних систем, відрізняється від методу простої ітерації лише тим, що обчислені на (k+1) -й ітерації значення невідомих , використовується для обчислення на тій самій ітерації нового значення невідомої . Такий прийом дозволяє збільшити швидкість збіжності ітераційного процесу, тобто забезпечити виконання умови зупинки при меншій кількості ітерацій. Швидкість збіжності методу Зейделя тим більша, чим більший порядок розглядуваної системи.

Також відмітимо, що в методі Зейделя успіх також залежить від вибору початкових значень невідомих: вони повинні бути досить близькі до точного рішення. В іншому випадку ітераційний процес може розходитися.

Блок-схема програмної реалізації методу Зейделя для розв'яку системи двох нелінійних рівнянь: