Розв’язок системи лінійних рівнянь використовуючи метод обертань

Метод Гаусса являється не єдиним методом який для розв’язку системи рівнянь використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Існує ще два методи, які можна віднести до категорії методів виключення невідомих, а саме метод обертань та метод відображень. Обидва ці методи базуються на представленні матриці  у вигляді добутку ортогональної матриці та верхньої трикутної матриці . Нагадаємо, що матриця  називається ортогональною, якщо для неї виконується наступна умова:  або .

Отже, перейдемо до розгляду методу обертань. Для цього, знову-таки, запишемо систему лінійних рівнянь наступного виду:

Зазначимо, що даний метод, як і метод Гаусса, складається з прямого і оберненого ходу.

Прямий хід методу обертань: на першому етапі здійснюємо виключення невідомої з усіх рівнянь системи (1) крім першого. Для виключення  з другого рівняння обчислюють наступні коефіцієнти:

для яких обов’язковою вимогою є виконання наступних умов . Після цього, перше рівняння системи (1) замінюють лінійною комбінацією першого і другого рівняння з коефіцієнтами та , а друге рівняння – аналогічною лінійною комбінацією з коефіцієнтами та . В результаті виконання даних дій система (1) набуде наступного вигляду:

де .

Неважко переконатися, що процес перетворення системи (1) до вигляду (4) еквівалентний процесу множенню зліва матриці і вектора на матрицю , де

Виходячи з того, що коефіцієнти  і  матриці  підібрані таким чином, що , то їх можна представити у наступному вигляді: . Тоді матриця  являтиме собою матрицю обертання на кут в площині . Неважко догадатися, що саме з таких міркувань появилась назва даного методу.

Відмітимо, що у випадку коли коефіцієнт  здійснювати виключення невідомої  з другого рівняння системи немає необхідності. В цьому випадку покладають, що і .

Далі переходимо до виключення невідомої  з третього рівняння. Для цього, як і на попередньому кроці, обчислюємо коефіцієнти вигляду:

для яких також повинні виконуватись наступні умови . Після цього, перше рівняння системи (4) замінюємо лінійною комбінацією першого і третього рівняння з коефіцієнтами та  і третє рівняння – аналогічною лінійною комбінацією з коефіцієнтами та . Таким чином ми отримали систему, значення коефіцієнтів при невіломій  у другому і третьому рівнянні рівні нулю. Дане перетворення системи еквівалентне множенню зліва її матриці коефіцієнтів на наступну матрицю обертання:

Аналогічним чином проводимо виключення невідомої  з решти рівнянь системи. В результаті виконання першого етапу (складається з -го кроку) система (1) зводиться до наступного вигляду:

або у матрично-векторній формі , де .

Далі переходимо до другого етапу (складається  з -х кроків) за допомогою якого, з рівнянь під номерами  системи (7),  здійснюємо виключення невідомої . Для цього, кожне -те рівняння замінюють лінійною комбінацією -го рівняння з другим. В результаті виконання даного етапу система (7) прийме наступний вигляд:

або , де .

І так далі продовжуючи даний процес, після виконання -го етапу система лінійних рівнянь прийме наступний вигляд:

або у матрично-векторній формі , де .

Позначивши через  верхню трикутну матрицю, отриману за допомогою прямого ходу методу обертань (), де – матриця результуючого обертання, являється ортогональною, як добуток ортогональних матриць. Отримуємо  – розклад матриці , де .

Обернений хід метоту обертань здійснюється аналогічно як і у методі Гаусса. Тобто з останнього рівняння системи (9) знаходимо значення невідомої . Після цього, решта значень обчислюють за наступною формулою:

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод обертань – приклад:

Використовуючи розглянутий вище метод обертань, розв’язати систему рівнянь наступного вигляду:

Для цього, на першому кроці, використовуючи алгоритм прямого ходу методу, приведемо матрицю коефіцієнтів до трикутного вигляду. Тобто, на першому етапі здійснюємо виключення невідомої  з другого, третього та четвертого рівнянь системи.

Для виключення невідомої  з другого рівняння, скористаємось формулами (2) та обчислемо коефіцієнти  та :

Далі, перетворюючи коефіцієнти першого та другого рівнянь за формулами (5), приходимо до системи виду:

Для виключення невідомої  з третього рівняння, за формулами (6), обчислимо коефіцієнти   та , після чого, перше рівняння системи замінюємо лінійною комбінацією першого і третього рівняння з коефіцієнтами  та  і третє рівняння – аналогічною лінійною комбінацією з коефіцієнтами  та :

Виходячи з того, що в останньому рівнянні системи значення коефіцієнта при невідомій  дорівнює нулю, то продовжувати перший етап немає змісту. Переходимо до другого етапу, який полягає у виключенні невідомої  з третього та четвертого рівнянь системи.

Для виключення  з третього рівняння системи обчислюємо коефіцієнти , та замінюючи друге і третє рівняння системи їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами ,  та ,  відповідно, приходимо до системи:

Для виключення  з четвертого рівняння системи, обчислюємо коефіцієнти , , після чого, аналогічним чином, замінюємо друге та четверте рівняння отриманої на попередньому кроці системи, їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами ,  та ,  відповідно. В результаті отримаємо:

Далі переходимо до, останнього, третього етапу прямого ходу методу обертань, та здійснимо виключення невідомої з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічно, попереднім етапам, обчислюємо коефіцієнти , і замінюємо третє та четверте рівняння системи їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами ,  та ,  відповідно і таким чином приводимо систему до трикутного вигляду:

Після цього, скориставшись оберненим ходом (формула (10)), знаходимо розв’язок заданої системи рівнянь:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод обертань