Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

де коефіцієнти і є заданими, а вектор  — називається розв'язком системи (1).

Якщо визначник даної системи не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами:

де  — допоміжний визначник, який одержується з основного визначника шляхом заміни його -го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

Отже:

1. Якщо , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв'язок, який знаходимо за формулами (2).
2. Якщо , то система (1) або має безліч розв'язків, або вона є несумісною, тобто розв'язків немає.

Складемо алгоритм розв'язання системи трьох рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:

1. Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:

2. Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:

3. Використовуючи формулу (2) знаходимо розв'язок системи (3):

Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи . Даний метод можна застосовувати і для великих значень , але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли доцільно використовувати метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці до трикутної форми.

Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Крамера — приклад:

Використовуючи методо Крамера розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного виду:

На першому кроці знаходимо визначник системи:

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв'язок. Далі, переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв'язок заданої системи:

Алгоритм розв'язоку системи лінійних рівнянь методом Крамера