Розв'язування систем лінійних рівнянь з двома змінними

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь, являється однією з найбільш важливіших задач лінійної алгебри. Відмітимо, що на даному сайті розглядається велика кількість точних та ітераційних чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса, метод простої ітерації та інші), рішення задач такого типу. Сьогодні, доповнимо її ще одним методом, який на відміну від розглянутих, являється менш універсальним, тобто вирішує системи малої розмірності, а саме системи двох лінійних рівнянь з двома змінними і називається методом підстановки.

Основна суть методу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (не важливо якому) одна невідома виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи, замість відповідної невідомої, підставляється вираз (отриманий на попередньому кроці), якому відповідає ця невідома. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно розв'язати систему лінійних рівнянь виду:

Для того щоб розв'язати дану систему методом підстановки будемо слідувати простому алгоритму:

  1. З одного рівняння виразимо одну з невідомих через іншу. Наприклад, скориставшись першим рівнянням системи, виразимо невідому , через . В результаті будемо мати .
  2. Підставляючи в друге рівняння системи замість  отриманий вираз, легко знаходимо значення невідомої .
  3. І на останньому кроці, підставляючи значення замість  в отриманий  у пункті один вираз, знайдемо значення невідомої .

Розв'язування систем лінійних рівнянь використовуючи метод підстановки - приклад:

Розв'язати систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

Отже, як уже зазначалося вище, з першого рівнянням системи виразимо змінну , через . Після цього, підставимо отримане значення в друге рівняння системи та з отриманого виразу знайдемо значення невідомої . В результаті отримаємо:

Далі, підставивши у вираз, який ми отримали для невідомої , обчислюємо її значення і таким чином знаходимо розв'язок заданої системи.

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими використовуючи метод підстановки

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар