Розв'язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки

Знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь, являється однією з найбільш важливіших задач лінійної алгебри. Відмітимо, що на даному сайті розглядається велика кількість точних та ітераційних чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса, метод простої ітерації та інші), рішення задач такого типу. Сьогодні, доповнимо її ще одним методом, який на відміну від розглянутих, являється менш універсальним, тобто вирішує системи малої розмірності, а саме системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими і називається методом підстановки.

Основна суть методу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (не важливо якому) одна невідома виражається через іншу. Після цього в друге рівняння системи, замість відповідної невідомої, підставляється вираз (отриманий на попередньому кроці), якому відповідає ця невідома. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього припустимо, що нам необхідно знайти розв'язок система лінійних рівнянь виду:

Для того щоб розв'язати дану систему методом підстановки будемо слідувати простому алгоритму:

  1. З одного рівняння виразимо одну з невідомих через іншу. Наприклад, скориставшись першим рівнянням системи, виразимо невідому , через . В результаті будемо мати .
  2. Підставляючи в друге рівняння системи замість  отриманий вираз, легко знаходимо значення невідомої .
  3. І на останньому кроці, підставляючи це значення замість  в отриманий  у пункті один вираз, отримуємо значення для невідомої .

Далі, для того, щоб закріпити даний спосіб рішення лінійних систем, розглянемо невеликий приклад.

Розв'язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки — приклад:

Використовуючи методо підстановки розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного виду:

Отже, як уже зазначалося вище, з першого рівнянням системи виразимо змінну , через . Після цього, підставимо отримане значення в друге рівняння системи та з отриманого виразу знайдемо значення невідомої . В результаті отримаємо:

Далі, підставивши це значення у вираз, який ми отримали для невідомої , знаходимо її значення і таким чином знаходимо розв'язок заданої системи.

Блок-схема алгоритму знаходження розв'язку системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом підстановки

Метод підстановки блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар