Розв'язок алгебраїчних рівнянь методом Лобачевського з використанням прцесу квадрування

Нехай дано рівняння:

Метод Лобачевського

про корені якого відомо, що вони різними по абсолютній величині, тобто такзвана умова "набагато більше" (Метод Лобачевського) для них не виконується. Для таких випадків Лобачевським було запропоновано алгоритм, який базується на процесі квадрування. Тобто, якщо до рівняння (1), достатню кількість раз застосувати даний процес, то можна отримати нове рівняння, корені якого задовільняють умовіМетод Лобачевського. Таким чином ми зможемо знайти корені останнього рівняння, після чого і корені рівняння (1). Отже, давайте розглянемо в чому полягає алгоритм процесу квадрування. Для цього розкладемо рівняння (1) на на Метод Лобачевського лінійних множників:

Метод Лобачевського

Далі, запишемо рівняння, корені якого будуть протилежні за знаком до коренів рівняння (1). Таке рівняння буде мати наступний вигляд:

Метод Лобачевського

Перемноживши ці два рівняння, отримаємо:

Метод Лобачевского

Зробивши в останній рівності заміну Метод Лобачевського, отримаємо нове рівняння відносно Метод Лобачевського, корені якого рівні квадрату коренів рівняння (1), взятих зі знаком "мінус", тобто Метод Лобачевського. Таким чином, щоб отримати рівняння, корені якого були б рівні квадрату коренів рівняння (1), необхідно перемножити дане рівняння на рівняння (2), яке отримуємо із нього заміною Метод Лобачевського на Метод Лобачевського.

Метод Лобачевського

В результаті будемо мати:

Метод Лобачевського

Далі, провівши заміну Метод Лобачевського на Метод Лобачевського, отримаємо:

Метод Лобачевського

Коефіцієнти Метод Лобачевського при невідомих Метод Лобачевського в рівнянні (4) отримуються із коефіцієнтів початкового рівняння наступним чином: від квадрата Метод Лобачевського віднімається подвоєний добуток двох сусідніх з ним симетрично розміщених коефіцієнтів, додається подвоєний добуток двох наступних за ними симетрично розміщених коефіцієнтів і так далі, до тих пір поки не прийдемо до Метод Лобачевського або Метод Лобачевського, тобто:

Метод Лобачевського

Виникає питання: як дізнатися, що процес квадрування проведений достатню кількість разів? Для того, щоб відповісти на нього, ми розглянемо два рівняння:

Метод Лобачевського

Які отримуються в процесі квадрування, причому друге отримується в результаті квадрування першого. Якщо для першого рівняння викононувалась би умова Метод Лобачевського, то тим більше вона виконувалась і для другого. Таким чином:

Метод Лобачквського

Але виходячи з того, що Метод Лобачевського то ми отримаємо:

Метод Лобачевського

і, відповідно, в силу того, що Метод Лобачевського, будемо мати Метод Лобачевського.

Отже, послідовність процесу квадрування слід закінчувати тоді, коли співвідношення (6) виконується із задаою точністю. Далі, за методом Лобачевського, тобто за формулою Метод Лобачевського, знаходимо корені рівняння отриманого після Метод Лобачевського ітерацій процесу квадрування, після чого, використовуючи формулу Метод Лобачевського, знаходимо корені рівняння (1).

Блок-схема програмної реалізації методу Лобачевського з використанням процесу квадрування:

Метод Лобачевського

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар