Розв’язування рівнянь теплопровідності за методом Кранка-Ніколсона

Неявна схема була відкрита Джоном Кранком (John Crank) і Філлісом Ніколсоном (Phillis Nicholson), заснована на чисельних наближеннях для розв’язку рівнянь виду:

Метод Кранка-Ніколсона

в точці Метод Кранка-Ніколсона, яка знаходиться між рядами сітки. Більш визначене наближення, яке використовується для Метод Кранка-Ніколсона отримаємо по формулі симетричних різниць:

Метод Кранка-Ніколсона

Наближення, яке використовуємо для Метод Кранка-Ніколсона є середнім наближенням Метод Кранка-Ніколсона і Метод Кранка-Ніколсона порядок точності якого становить Метод Кранка-Ніколсона:

Метод Кранка-Ніколсона

Як і в методі скінченних різниць, підставимо (2), (3) у рівняння теплопровідності (1) і знехтуємо залишковими членами Метод Кранка-Ніколсона та Метод Кранка-Ніколсона. В результаті отримаємо різницеве рівняння в якому зробимо наступну заміну Метод Кранка-Ніколсона:

Метод Кранка-Ніколсона

Дане рівняння потрібно розв'язати для трьох ще невідомих значень Метод Кранка-НіколсонаЦе можливо, якщо всі ці значення перенести в ліву частину рівняння. Після чого, зведемо члени рівняння (4) і виконаємо наступну підстановку: Метод Кранка-Ніколсона. В результаті отримаємо неявну різницеву формулу:

Метод Кранка-Ніколсона

для i=2,3,...,n-1. Члени в правій частині формули (5) відомі. Таким чином, формула (5) має вигляд лінійної трьох діагональної системи Ax=b. Інколи в формулі (5) використовується значення r=1. В цьому випадку приріст по осі t дорівнює Метод Кранка-Ніколсона, формула спрощується і приймає вигляд:

Метод Кранка-Ніколсона

для i=2,3,...,n-1Граничні умови використовуються в першому і останньому рівняннях, тобто Метод Кранка-Ніколсона і Метод Кранка-Ніколсона. Рівняння (6) більш зрозуміле, якщо його записати у вигляді трьох діагональної матриці:

Метод Кранка-Ніколсона

Блок-схема програмної реалізації методу Кранка-Ніколсона:

Метод Кранка-Ніколсона

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар