Розв’язування рівнянь теплопровідності методом скінченних різниць

Розглянемо одномірне рівняння теплопровідності (відноситься до диференціальних рівнянь параболічного типу), яке має наступний вигляд Метод скінченних різниць де:

Метод скінченних різниць

з початковими умовами:

Метод скінченних різниць

і граничними умовами:

Метод скінченних різниць

Рівняння теплопровідності — це модель температури в ізольованому бруску, який має на кінцях постійну температуру Метод скінченних різниць і Метод скінченних різниць та початкову температуру по цілому бруску Метод скінченних різниць. Для даної задачі потрібно знайти чисельний розв'язок з допомогою методу скінченних різниць.

Припустимо, що прямокутник Метод скінченних різниць розділений на Метод скінченних різниць прямокутників зі сторонами рівнимиМетод скінченних різниць і Метод скінченних різниць. Почнемо з нижнього ряду, де Мктод скінченних різниць і розв'язок рівний Метод скінченних різниць. Запишемо метод розрахунку наближень до Метод скінченних різниць в точках сітки в наступному вигляді: Метод скінченних різниць.

Різницеві формули, які використовуємо для Метод скінченних різниць і Метод скінченних різниць мають вигляд:

Метод скінченних різниць

Решітка рівномірно розміщена в кожному ряді Метод скінченних різниць і в кожному стовбці Метод скінченних різниць. Дальше використаємо наближення Метод скінченних різниць для Метод скінченних різниць в різницевих формулах, які по черзі підставимо в рівняння теплопровідності, в результаті отримаємо:

Метод скінченних різниць

Для зручності, в дане рівняння підставимо Метод скінченних різниць . Отримаємо:

Метод скінченних різниць

Останнє рівняння служить для знаходження (j+1)-го ряду в сітці при тому, що наближення в j-муряді відомо. Простота цієї формули робить її привабливою для застосування. Крім того, важливо використовувати стабільну обчислювальну техніку. Якщо будь-яка помилка, отримана на одному етапі обчислення, в кінці кінців зменшується, то метод називають стійким. Дане рівняння стійке тоді і тільки тоді коли r знаходиться на інтервалі Метод скінченних різниць. Це означає, що довжина кроку k повинна задовільняти нерівність Метод скінченних різниць. Якщо ця умова не виконується, то помилки, які фіксуються в одному рядку Метод скінченних різниць, можуть збільшуватися в наступних рядках Метод скінченних різниць для деякого p>j.

Блок-схема програмної реалізації методу скінченних різниць:

Метод скінченних різниць

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар