Розкладання чисел на прості множники

Нагадаємо, що цілі додатні числа більші за одиницю діляться на прості та складені. Різниця між ними полягає в числі дільників. Просте число має два натуральних дільники — одиницю та самого себе. Наприклад, 2, 3, 5, 7, 11,... (одиниця не є простим числом). Число, яке має більше ніж два натуральних дільники, називається складеним. Зазначимо, що будь-яке складене число можливо представити як добуток простих чисел. Наприклад, число 20 можна представити як , де 2 та 5 — прості числа. Саме таке представлення і називається розкладанням чисел на прості множники.

Зазначимо, що складене число розкладається на прості множники єдиним чином. Це означає, що якщо, наприклад, число 20 розклалося на дві двійки і одну п'ятірку, то воно завжди буде так розкладатися незалежно від того, почнемо ми розкладання з малих множників чи з великих. Прийнято починати розкладання з малих множників, тобто з двійок, трійок і так далі. Це зручніше тому, що про подільність числа на 2, на 3, на 5 легше судити, ніж про його подільність, наприклад, на число 59 чи 67.

Два способи отримання одного розкладання

Знову-таки повертаючись до нашого прикладу, бачимо, що для невеликих чисел здогадатися яким буде їх розкладання доволі легко. Виникає питання, яким же чином виконується розкладання на множники великих чисел? Зазначимо, що тут нам допоможуть ознаки подільності та таблиця простих чисел. Покажемо, як за їх допомогою отримати розкладання деякого натурального складеного числа .

Отже, для початку, з таблиці простих чисел, необхідно підібрати найменше просте число, на яке складене число  ділиться без залишку. Припустимо, що такми являється число . Виконаємо ділення числа  на . В результаті, отримаємо деяке число . На наступному кроці, виконуємо операцію ділення найменшого простого числа , на яке отримана на попередньому кроці частка  ділитиметься без залишку. Далі, аналогічним чином здійснюємо ділення частки на просте число , і так далі. Розкладання числа продовжується до тих пір, поки в результаті чергового поділу не отримаємо одиницю. Всі отримані дільники (прості числа ) і являтимуться множниками заданого числа , а його представлення у вигляді  — розкладанням на прості множники.

Зауваження: результати, отримані на кожному кроці алгоритму розкладання числа на прості множники, для наочності представляють у вигляді таблиці, в якій зліва від вертикальної лінії записують послідовно в стовпчик числа , а праворуч від неї — відповідні найменші прості дільники .

Представлення процесу розкладання числа на прості множники у вигляді таблиці

Розкладання чисел на прості множники  - приклад:

Розкласти число на прості множники.

Отже, беремо перше просте число — два і перевіряємо, чи ділиться  на 2. Виходячи з того, що задане число закінчується нулем, то воно ділиться на два за ознакою подільності. Записуємо в праву колонку таблиці, а число  — в ліву. Зазначимо, що в результаті виконання даного кроку таблиця розкладання прийме наступного вигляду:

Розкладання числа 1260 на прості множники - Крок №1

Далі, аналогічним чином, виходячи з того, що число  ділиться на 2 без залишку, знову-таки, записуємо в праву колонку таблиці, а число  — в ліву колонку.

Розкладання числа 1260 на прості множники - Крок №2

Продовжуючи обчислювальний процес далі бачимо, що частка  вже на 2 не ділиться. Скориставшись ознаками подільності визначаємо, що вона ділиться на число 3. Тому, продовжуючи ділення далі, на шостому кроці, отримуємо таблицю, права колонка якої містить всі прості множники числа :

Розкладання числа 1260 на прості множники - Кроки №3 - №6

Далі, скориставшись отриманими значеннями, запишемо шукане розкладання на прості множники.

Зауваження: добуток однакових множників у розкладі числа на прості множники зазвичай замінюють степенем. Тобто результат отриманий в попередньому прикладі доцільніше було б записати у наступному вигляді: .

Блок-схема алгоритму розкладання чисел на прості множникик:

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар