Рівномірне наближення функцій методом найменших квадратів

Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок Апроксимація функції методо найменших квадратів. Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) Апроксимація функції методом найменших квадратів, значення якої при Апроксимація функції методом найменших квадратів мало відрізняються від заданих експерементальних даних Апроксимація функції методом найменших квадратів. Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.

Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):

Апроксимація функції методом найменших квадратів

деАпроксимація функції методом найменших квадратів — невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок Апроксимація функції методом найменших квадратів.

Апроксимація функції методом найменших квадратів

Для визначення параметрів Апроксимація функції методом найменших квадратівполіномаАпроксимація функції методо найменших квадратів, потрібно знайти мінімум функції S. Знайти його можна записавши частинні похідні для даної функції по незалежних змінних Апроксимація функції методом найменших квадратів і прирівнявши їх до нуля. В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

Збираючи коефіцієнти при невідомих Апроксимація функції методом найменших квадратів система рівнянь набуде наступного вигляду:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

В результаті ми отримали систему, яка представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів полінома Апроксимація функції методом найменших квадратів, які необхідно знайти, для того, щоб визначити аналітичну залежність, яка описує експерементальний масив даних.

Блок-схема алгоритму апроксимації функції методом найменших квадратів:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар