Рівномірне наближення функцій методом найменших квадратів

Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок . Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) , значення якої при мало відрізняються від заданих експерементальних даних . Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.

Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):

де — невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок .

Для визначення параметрів полінома, потрібно знайти мінімум функції S. Знайти його можна записавши частинні похідні для даної функції по незалежних змінних  і прирівнявши їх до нуля. В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:

Збираючи коефіцієнти при невідомих  система рівнянь набуде наступного вигляду:

В результаті ми отримали систему, яка представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів полінома , які необхідно знайти, для того, щоб визначити аналітичну залежність, яка описує експерементальний масив даних.

Блок-схема алгоритму апроксимації функції методом найменших квадратів: