Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
В курсі аналітична геометрія існує декілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, для зручності її розв'язку, використовують той чи іншим тип. Сьогодні розглянемо перший з них, а саме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отже, нехай дано кут , який утворює пряма
з віссю
, і ордината
точки перетину прямої з віссю
(цю ординату також називають відрізком, який пряма відсікає на осі
). Відмітимо, що заданими величинами (параметрами) пряма цілком визначена. Знайдемо рівняння цієї прямої.
Знаходження рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Для цього, візьмемо довільну точку на прямій (праворуч від точки
) та проведемо два відрізка
і
паралельно координатним осям
та
відповідно. В результаті виконання даного кроку ми отримали трикутник
, який, як видно з побудови, являється прямокутним. А виходячи з того, що у прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, будемо мати:
Якщо точка буде взята на прямій
зліва від точки
, то кут між віссю
і
дорівнюватиме
, але
. Тобто формула (1) залишиться вірною і для даного випадку.
Таким чином, координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння (1). Координати ж усякої точки
, що не лежить на даній прямій, не задовольняють рівняння (1), так як вісь
утворюватиме з відрізком
цієї точки кут
, відмінний від кута
, тобто:
Звідси випливає, що рівняння (1) є рівняння заданої прямої . Запишемо дане рівняння у зручному для використання вигляді. Для цього, розв'яжемо його відносно невідомої
та введемо додаткове позначення. В результаті рівняння (1) прийме наступного вигляду:
де коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Далі, розглянемо окремі випадки розташування прямих на площині та запишемо для кожного з них відповідне рівняння прямої. Отже:
- При
відрізок, що відсікається прямою на осі
, дорівнює нулю, отже, пряма проходить через початок координат. Таким чином рівняння
визначає пряму, що проходить через початок координат і не збігається з віссю
.
- При
, пряма паралельна осі абсцис і її рівняння має вигляд
.
- У тому випадку коли значення для кутового коефіцієнта
не існує (
), пряма являється паралельною осі ординат і її рівняння має вигляд
, де
— точка перетину прямої з віссю
.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом — приклад:
Записати рівняння прямої, що утворює з віссю абсцис кут і відсікає на осі ординат відрізок
.
Графік прямої, рівняння якої необхідно побудувати
Для цього, на першому кроці, знайдемо значення кутового коефіцієнта , після чого, скориставшись формулою (2), запишемо шукане рівняння: