Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

В курсі аналітична геометрія існує декілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, для зручності її розв'язку, використовують той чи іншим тип. Сьогодні розглянемо перший з них, а саме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отже, нехай дано кут , який утворює пряма  з віссю , і ордината точки перетину прямої з віссю (цю ординату також називають відрізком, який пряма відсікає на осі ). Відмітимо, що заданими величинами (параметрами) пряма цілком визначена. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Для цього, візьмемо довільну точку на прямій (праворуч від точки ) та проведемо два відрізка  і  паралельно координатним осям  та  відповідно. В результаті виконання даного кроку ми отримали прямокутник , який, як видно з побудови, являється прямокутним. А виходячи з того, що у прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, будемо мати:

Якщо точка  буде взята на прямій  зліва від точки , то кут між віссю  і дорівнюватиме , але . Тобто формула (1) залишиться вірною і для даного випадку.

Таким чином, координати будь-якої точки прямої  задовольняють рівняння (1). Координати ж усякої точки , що не лежить на даній прямій, не задовольняють рівняння (1), так як вісь  утворюватиме з відрізком  цієї точки кут , відмінний від кута , тобто:

Звідси випливає, що рівняння (1) є рівняння заданої прямої . Запишемо дане рівняння у зручному для використання вигляді. Для цього, розв'яжемо його відносно невідомої та введемо додаткове позначення. В результаті рівняння (1) прийме наступного вигляду:

де коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Далі, розглянемо окремі випадки розташування прямих на площині та запишемо для кожного з них відповідне рівняння прямої. Отже:

1. При відрізок, що відсікається прямою на осі , дорівнює нулю, отже, пряма проходить через початок координат. Таким чином рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат і не збігається з віссю .
2. При , пряма паралельна осі абсцис і її рівняння має вигляд .
3. У тому випадку коли значення для кутового коефіцієнта  не існує (), пряма являється паралельною осі ординат і її рівняння має вигляд , де  — точка перетину прямої з віссю .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом — приклад:

Записати рівняння прямої, що утворює з віссю абсцис кут  і відсікає на осі ординат відрізок .

Для цього, на першому кроці, знайдемо значення кутового коефіцієнта , після чого, скориставшись формулою (2), запишемо шукане рівняння:

Блок-схема алгоритму побудови рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом