Рівняння кривої другого порядку що описує коло

Кривою другого порядку називається лінія, що визначається рівнянням другої степені щодо поточних декартових координат. У загальному випадку це рівняння записується в наступному вигляді:

де коефіцієнти  — дійсні числа і, крім того, принаймі одне із чисел або відмінне від нуля. В залежності від того, які значення приймають дані коефіцієнти, рівняння (1) визначає на площині коло, еліпс, гіперболу або параболу. Сьогодні покажемо, якими вони повинні бути для кола. Для цього, запишемо рівняння, яке описує коло радіуса  з центром в точці :

Розкривши дужки в рівнянні такого виду та виконавши деякі тотожні перетворення, перепишемо його в наступному вигляді:

Порівнюючи далі рівняння (3) із загальним рівнянням кривої другого порядку бачимо, що для того, щоб  рівняння (1) описувало коло необхідно, щоб для нього виконувались наступні дві умови: коефіцієнти при  та  повинні бути рівні між собою і член що містить добуток координат  повинен бути відсутнім.

Виникає питання: чи всяке рівняння виду (3) є рівнянням, що описує коло? Щоб відповісти на це питання, розглянемо обернену задачу, тобто здійснимо перетворення рівняння (1) до вигляду (2), вважаючи що  і (інакше, нам необхідно було б розділити на  обидві частини цього рівняння). Таким чином, можна вважати, що рівняння кривої другого порядку має наступний вигляд:

Виділивши в лівій частині цього рівняння дві групи членів і , доповнимо кожну з них до повного квадрата та перенесемо член у праву частину. В результаті рівняння (4) прийме наступний вигляд:

Відмітимо, що права частина рівняння (5) може бути додатнім числом, від'ємним або нулем. Розглянемо дані випадки  більш детально:

  1. . У цьому випадку рівняння (5), а отже, і рівносильне йому рівняння (4) визначають коло з центром в точці і радіусом .
  2. . У цьому випадку рівняння (5) має вигляд . Останньому рівняння, а отже, і рівносильному йому рівняння (4) задовольняють координати єдиної точки .
  3. . У цьому випадку рівняння (5), а отже, і рівносильне йому рівняння (4) не визначають ніякої лінії (права частина рівняння (5) від'ємна, а ліва його частина як сума квадратів від'ємною бути не може).

Рівняння кола — приклад:

Визначити центр и радіус кола, яке задано рівнянням .

Визначення центру та радіусу заданого кола

Виходячи з того, що в заданому рівнянні коефіцієнт при  і  рівні між собою і відсутній член з добутком координат, то задане рівняння є рівнянням кола. Приведемо його до вигляду (2). Для цього, на першому кроці, випишемо члени, які містять тільки , і члени, які містять тільки та виділимо для них повні квадрати:

В результаті виконання даного кроку, ліва частина заданого рівняння запишеться в наступному вигляді:

Порівнюючи одержане рівняння з рівнянням (2) приходимо до висновку, що це рівняння визначає коло, центр якого має координати , а радіус дорівнює .

Блок-схема алгоритму побудови рівняння кола

Рівняння кола блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар