З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює , має наступний вигляд: .
Дотична і нормаль до кривої
Дотична до кривої в точці має кутовий коефіцієнт . Отже, рівнянням дотичної буде:
Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді . Якщо дотична в точці паралельна осі ,то і тоді .
Пряма, яка перпендикулярна до дотичної кривої в точці і проходить через точку , називається нормаллю до цієї кривої в точці . Оскільки кутові коефіцієнти двох взаємно перпендикулярних прямих на площині пов’язані співвідношенням , то рівняння нормалі до кривої в точці набуває вигляду:
Зауваження: рівняння (2) має сенс при умові, що . Якщо ж , то рівняння нормалі набуде вигляду .
Ілюстрація до визначення кута між двома кривими
Кутом між двома кривими і в точці їх перетину називають кут між дотичними до цих кривих в точці , який обчислюють за формулою:
Рівняння дотичної і нормалі до кривої – приклади розв’язання:
Приклад 1: скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої у точці .
За умовою задачі . Тоді . Знайдемо похідну заданої функції в точці . В результаті будемо мати:
Далі, скориставшись формулами (1) і (2), запишемо шукані рівняння дотичної і нормалі:
Приклад 2: скласти рівняння всіх дотичних до графіка функції , що проходять через точку .
Отже, нехай – абсциса точки дотику до графіка заданої функції. Тоді, , , , – рівняння дотичної.
Дотичні до кривої, що проходять через точку M
Виходячи з того, що дотична проходить через точку , то її координати повинні задовольняти рівняння дотичної, тобто . Звідси, або . Отже, шукані рівняння дотичних мають наступний вигляд:
Приклад 3: за якими кутами перетинаються криві і .
Отже, на першому кроці, знайдемо точки перетину даних ліній. Для цього, розв’яжемо систему двох нелінійних рівнянь наступного вигляду:
В результаті отримаємо дві точки і . Оскільки дотичні до кривих в точці збігаються з віссю абсцис, то кут міх кривими, в даній точці, дорівнює нуль градусів.
Кут між кривими y=x^2 і y=x^3
У точці кут між кривими визначимо за формулою (3):
Отже, .