Розглядаючи означення квадратного рівняння ми також познайомились з універсальним алгоритмом рішення рівнянь такого типу через дискримінант. Проте, в математиці існують і інші спеціальні прийоми, за якими багато квадратних рівнянь розв’язуються дуже швидко і без всяких дискримінантів. Саме розгляду одного з таких прийомів, а саме теоремі Вієта, і буде присвячений даний параграф.
Отже, для початку, введемо нове означення: квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду . Зрозуміло, що будь-яке рівняняя можна зробити зведеним, для цього достатньо розділити всі його коефіцієнти на число . Зробити це можна завжди, адже, за означенням квадратного рівняння, .
Тепер сформулюємо основну теорему, для якої, власне, і вводилося поняття зведеного квадратного рівняння: нехай для рівняння коренями являються числа і (допускається і випадок коли ). Тоді, слідуючи з теореми, справедливими являються настуні формули (формули Вієта):
Доведемо їх істенність. Для цього, скориставшись відомими формулами обчислення коренів, врахувавши при цьому, що , переконаємося, що сума і добуток чисел і дорівнюють та відповідно:
Для зручності, теорему Вієта можна переформулювати і в дещо іншому вигляді, а саме: якщо хоча б одна з формул (1) не виконується, то хоча б одне з чисел , не є коренем рівняння . Таке формулювання зазвичай використовується для перевірки правельності обчислених коренів. Зазначимо, що робити таку перевірку дуже корисна звичка. Адже часто буває так, що квадратне рівняння є ланкою рішення більш складного завдання, і помилка при знаходженні коренів автоматично робить невірним все подальше рішення. Теорема Вієта в таких ситуаціях – важлива проміжна підстраховка.
Однак формули Вієта годяться не тільки в якості тесту на відсутність обчислювальної помилки – сфера їх застосування набагато ширша. Зокрема, як зазначалося вище, нас цікавить інформація про те, як, за допомогою цих формул, можна шукати корені. Відповідь на це питання дає обернена теорема Вієта: нехай числа зв’язані співвідношеннями (1). Тоді і – корені квадратного рівняння .
Для доведення даного твердження, виразимо з першої формули Вієта і підставимо в другу:
Як бачимо, є коренем рівняння . Те ж саме вірно і для (це очевидно і без обчислень, оскільки і входять в формули (1) симетрично).
Корені квадратного рівняння за теоремою Вієта – приклади знаходження:
Приклад 1: використовуючи обернену теорему Вієта, знайти корені квадратного рівняння наступного вигляду: .
Графік функції, що описується квадратним рівнянням x^2+12*x+11=0
Отже, якщо рівняння має цілі корені, то їх сума дорівнює мінус дванадцять (), а добуток – одинадцять (). Не важко переконатись, що це можуть бути числа і або і . Але, виходячи з того, що другий коефіцієнт рівняння дотатний, приходимо до висновку, що коренями являються від’ємні числа, тобто і .
Приклад 2: знайти розв’язок квадратного рівняння наступного вигляду: .
Графік функції, що описується квадратним рівнянням 5*x^2-40*x+60=0
Отже, перед нами рівняння, яке не є зведенним (коефіцієнт ). Розділимо всі його коефіцієнти на число пять. В результаті отримаємо: . Далі, виходячи з того, що всі коефіцієнти квадратного рівняння цілочисельні – спробуємо розв’язати його за теоремою Вієта. Для цього, аналогічним чином, скориставшись формулами (1) отримаємо і . В даному випадку корені вгадуються легко – це числа і .
Приклад 3: знайти корені квадратного рівняння наступного вигляду: .
Графік функції, що описується квадратним рівнянням 9*x^2-50*x+50=0
Як і у попередньому випадку, задане квадратне рівняння не є зведеним, а отже, розділимо обидві його сторони на коефіцієнт . В результаті отримаємо – рівняння з дробовими коефіцієнтами. Зазначимо, що в даному випадку необхідно повернутись до вихідного рівняння і здійснювати обчислення через дискримінант: