Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта

Розглядаючи означення квадратного рівняння ми також познайомились з універсальним алгоритмом рішення рівнянь такого типу через дискримінант. Проте, в математиці існують і інші спеціальні прийоми, за якими багато квадратних рівнянь розв'язуються дуже швидко і без всяких дискримінантів. Саме розгляду одного з таких прийомів, а саме теоремі Вієта, і буде присвячений даний параграф.

Отже, для початку, введемо нове означення: квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду . Зрозуміло, що будь-яке рівняняя можна зробити зведеним, для цього достатньо розділити всі його коефіцієнти на число . Зробити це можна завжди, адже, за означенням квадратного рівняння, .

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої, власне, і вводилося поняття зведеного квадратного рівняння: нехай для рівняння коренями являються числа  і (допускається і випадок коли ). Тоді, слідуючи з теореми, справедливими являються настуні формули (формули Вієта):

Доведемо їх істенність. Для цього, скориставшись відомими формулами обчислення коренів, врахувавши при цьому, що , переконаємося, що сума і добуток чисел  і  дорівнюють  та відповідно:

Для зручності, теорему Вієта можна переформулювати і в дещо іншому вигляді, а саме: якщо хоча б одна з формул Вієта (1) не виконується, то хоча б одне з чисел  не є коренем рівняння . Таке формулювання зазвичай використовується для перевірки правельності обчислених коренів. Зазначимо, що робити таку перевірку дуже корисна звичка. Адже часто буває так, що квадратне рівняння є ланкою рішення більш складного завдання, і помилка при знаходженні коренів автоматично робить невірним все подальше рішення. Теорема Вієта в таких ситуаціях — важлива проміжна підстраховка.

Однак формули Вієта годяться не тільки в якості тесту на відсутність обчислювальної помилки — сфера їх застосування набагато ширша. Зокрема, як зазначалося вище, нас цікавить інформація про те, як, за допомогою цих формул, можна шукати коріння. Відповідь на це питання дає обернена теорема Вієта: нехай числа зв'язані співвідношеннями (1). Тоді  і  — корені квадратного рівняння .

Для доведення даного твердження, виразимо  з першої формули Вієта і підставимо в другу:

Як бачимо,  є коренем рівняння . Те ж саме вірно і для  (це очевидно і без обчислень, оскільки  і  входять в формули (1) симетрично).

Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта — приклад1:

Використовуючи обернену теорему Вієта, знайти розв'язок квадратного рівняння наступного вигляду: .

Теорема Вієта - приклад

Графік функції, що описується квадратним рівнянням x^2+12*x+11=0

Отже, якщо рівняння має цілі корені, то їх сума дорівнює мінус дванадцять (), а добуток — одинадцять (). Не важко переконатись, що це можуть бути числа і або і . Але, виходячи з того, що другий коефіцієнт рівняння дотатний, приходимо до висновку, що коренями являються від'ємні числа, тобто  і .

Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта — приклад2:

Знайти розв'язок квадратного рівняння наступного вигляду: .

Теорема Вієта - приклад

Графік функції, що описується квадратним рівнянням 5*x^2-40*x+60=0

Отже, перед нами рівняння, яке не є зведенним (коефіцієнт ). Розділимо всі його коефіцієнти на число пять. В результаті отримаємо: . Далі, виходячи з того, що всі коефіцієнти квадратного рівняння цілочисельні — спробуємо розв'язати його по теоремі Вієта. Для цього, аналогічним чином, скориставшись формулами (1) отримаємо і . В даному випадку корені вгадуються легко — це числа і .

Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта — приклад3:

Знайти корені квадратного рівняння наступного вигляду: .

Теорема Вієта - приклад

Графік функції, що описується квадратним рівнянням 9*x^2-50*x+50=0

Як і у попередньому випадку, задане квадратне рівняння не є зведеним, а отже, розділимо обидві його сторони на коефіцієнт . В результаті отримаємо  — рівняння з дробовими коефіцієнтами. Зазначимо, що в даному випадку необхідно повернутись до вихідного рівняння і здійснювати обчислення через дискримінант:

Блок-схема алгоритму знаходження рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта:

Теорема Вієта блок-схема

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар