Рішення задач на власні значення методом вичерпування

Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю , елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином: .

Поряд з матрицею , розглянемо ще одну матрицю , де  — перше власне значення матриці ;  — відповідний власний вектор матриці , розглядуваний як матриця-стовпець;  — власний ветор, явий відповідає власному значенню  транспонованої матриці до , розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори та нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:

В розгорнутому вигляді матриця записується наступним чином:

Покажемо, що власні значення та власні вектори матриць  та  рівні, за винятком першого, замість якого появляється власне значення рівне нулю. Для цього, скористаємося асоціативною властивістю множення матриць та формулою (2). В результаті отримаємо:

Тобто і відповідно нуль являється власним значенням матриці .

Далі, при , і враховуючи, що , отримуємо:

Таким чином, для матриці  найбільшим по абсолютній величині є власне значення . Для визначення даного власного значення та відповідного йому власного вектора , можна скористатись, наприклад, степеневим методом. Даний прийом називається методом вичерпування.

Знаходження власних значень матриці методом вичерпування — приклад:

Для деякої матриці  знайти друге власне значення:

Виходячи з того, що метод вичерпування, при знаходженны другого власного значення вимагає, як першого власного значення, так і відповідних йому власних векторів, як матриці  так і матриці . Тобто, при використанні даного методу, необхідно паралельно з обчисленням послідовності ітерацій  (ітераційний процес степеневого методу), обчислювати і послідовність ітерацій . Для цього, в якості початкового наближення власних векторів, виберемо одиничний вектори , задамо точність обчислень , після чого побудуємо наступний ітераційний процес:

Таким чином, отримане на четвертій ітерації значення задовольняє заданій точності, тому . Ділі, переходимо до знаходження значень елементів власних векторів. Для цього, достатньо пронормувати отримані вектори  та :

Зауваження: для того, щоб нормувати вектор, необхідно знайти його модуль, і кожну координату розділити на нього.

Після того, як всі необхідні величини знайдено, переходимо до побудови матриці :

Далі, для відшукання другого власного значення, задамо початкове наближення  та точність обчислень , після чого, для знайденої матриці , аналогічним чином, будуємо ітераційний проце степеневого методу:

Таким чином ми отримали друге власне значення заданої матриці , тобто .

Блок-схема алгоритму знаходження власних значень матриці використовуючи метод вичерпування: