Рішення задач на власні значення методом вичерпування

Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю Метод вичерпування, елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином: Метод вичерпування.

Поряд з матрицею Метод вичерпування, розглянемо ще одну матрицю Метод вичерпування, де Метод вичерпування — перше власне значення матриці Метод вичерпування; Метод вичерпування — відповідний власний вектор матриці Метод вичерпування, розглядуваний як матриця-стовпець; Метод вичерпування — власний ветор, явий відповідає власному значенню Метод вичерпування транспонованої матриці до Метод вичерпування, розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори Метод вичерпування та Метод вичерпування нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:

Метод вичерпування

В розгорнутому вигляді матриця Метод вичерпування записується наступним чином:

Метод вичерпування

Покажемо, що власні значення та власні вектори матриць Метод вичерпування та Метод вичерпування рівні, за винятком першого, замість якого появляється власне значення рівне нулю. Для цього, скористаємося асоціативною властивістю множення матриць та формулою (2). В результаті отримаємо:

Метод вичерпування

Тобто Метод вичерпування і відповідно нуль являється власним значенням матриці Метод вичерпування.

Далі, при Метод вичерпування, і враховуючи, що Метод вичерпування, отримуємо:

Метод вичерпування

Таким чином, для матриці Метод вичерпування найбільшим по абсолютній величині є власне значення Метод вичерпування. Для визначення даного власного значення та відповідного йому власного вектора Метод вичерпування, можна скористатись, наприклад, степеневим методом. Даний прийом називається методом вичерпування.

Знаходження власних значень матриці методом вичерпування — приклад:

Для деякої матриці Метод вичерпування знайти друге власне значення:

Метод вичерпування приклад

Виходячи з того, що метод вичерпування, при знаходженны другого власного значення вимагає, як першого власного значення, так і відповідних йому власних векторів, як матриці Метод вичерпування так і матриці Метод вичерпування приклад. Тобто, при використанні даного методу, необхідно паралельно з обчисленням послідовності ітерацій Метод вичерпування приклад (ітераційний процес степеневого методу), обчислювати і послідовність ітерацій Метод вичерпування приклад. Для цього, в якості початкового наближення власних векторів, виберемо одиничний вектори Метод вичерпування приклад, задамо точність обчислень Метод вичерпування приклад, після чого побудуємо наступний ітераційний процес:

Метод вичерпування приклад

Таким чином, отримане на четвертій ітерації значення задовольняє заданій точності, тому Метод вичерпування приклад. Ділі, переходимо до знаходження значень елементів власних векторів. Для цього, достатньо пронормувати отримані вектори Метод вичерпування приклад та Метод вичерпування приклад:

Метод вичерпування приклад

Зауваження: для того, щоб нормувати вектор, необхідно знайти його модуль, і кожну координату розділити на нього.

Після того, як всі необхідні величини знайдено, переходимо до побудови матриці Метод вичерпування:

Метод вичерпування приклад

Далі, для відшукання другого власного значення, задамо початкове наближення Метод вичерпування приклад та точність обчислень Метод вичерпування приклад, після чого, для знайденої матриці Метод вичерпування, аналогічним чином, будуємо ітераційний проце степеневого методу:

Метод вичерпування приклад

Таким чином ми отримали друге власне значення заданої матриці Метод вичерпування, тобто Метод вичерпування приклад.

Блок-схема алгоритму знаходження власних значень матриці використовуючи метод вичерпування:

Метод вичерпування алгоритм

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар