Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю , елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином:
.
Поряд з матрицею , розглянемо ще одну матрицю
, де
– перше власне значення матриці
;
– відповідний власний вектор матриці
, розглядуваний як матриця-стовпець;
– власний ветор, явий відповідає власному значенню
транспонованої матриці до
, розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори
та
нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:
В розгорнутому вигляді матриця записується наступним чином:
Покажемо, що власні значення та власні вектори матриць та
рівні, за винятком першого, замість якого появляється власне значення рівне нулю. Для цього, скористаємося асоціативною властивістю множення матриць та формулою (2). В результаті отримаємо:
Тобто і відповідно нуль являється власним значенням матриці
.
Далі, при , і враховуючи, що
, отримуємо:
Таким чином, для матриці найбільшим по абсолютній величині є власне значення
. Для визначення даного власного значення та відповідного йому власного вектора
, можна скористатись, наприклад, степеневим методом. Даний прийом називається методом вичерпування.
Знаходження власних значень матриці методом вичерпування – приклад:
Для деякої матриці знайти друге власне значення:
Виходячи з того, що метод вичерпування, при знаходженны другого власного значення вимагає, як першого власного значення, так і відповідних йому власних векторів, як матриці так і матриці
. Тобто, при використанні даного методу, необхідно паралельно з обчисленням послідовності ітерацій
(ітераційний процес степеневого методу), обчислювати і послідовність ітерацій
. Для цього, в якості початкового наближення власних векторів, виберемо одиничний вектори
, задамо точність обчислень
, після чого побудуємо наступний ітераційний процес:
Таким чином, отримане на четвертій ітерації значення задовольняє заданій точності, тому . Ділі, переходимо до знаходження значень елементів власних векторів. Для цього, достатньо пронормувати отримані вектори
та
:
Зауваження: для того, щоб нормувати вектор, необхідно знайти його модуль, і кожну координату розділити на нього.
Після того, як всі необхідні величини знайдено, переходимо до побудови матриці :
Далі, для відшукання другого власного значення, задамо початкове наближення та точність обчислень
, після чого, для знайденої матриці
, аналогічним чином, будуємо ітераційний проце степеневого методу:
Таким чином ми отримали друге власне значення заданої матриці , тобто
.