В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли – квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .
Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:
де означає перехід до сполученої матриці.
Розглянемо один із способів побудови псевдооберненої матриця. Відомо, що будь-яку дійсну матрицю з розмірами можна представити у наступному вигляді:
де матриця сформована з ортонормованих власних векторів матриці , матриця – з ортонормованих власних векторів матриці , матриця з розмірами має вигляд:
де і кожен з елементів є невід’ємним значеннями квадратних коренів із загальних власних значень матриць і і називаються сингулярними числами матриці . Припустимо, що сингулярні числа впорядковані . Якщо ранг матриці дорівнює , то . Розкладання (2) називають сингулярним розкладанням матриці . Знаючи сингулярне розкладання, можна відразу виписати псевдообернену матрицю:
де .
Можливі й інші варіанти розкладання (2). Наприклад при можна записати:
де матриця сформована із ортонормованих власних векторів, відповідних найбільшим власним значенням матриці .
Псевдообернена матриця – приклад знаходження:
Використовуючи вище розглянутий алгоритм, для матриці розмірності :
знайти псевдообернену матрицю .
Для цього, на першому кроці, скориставшись операцією множення матриць обчислимо матриці і та знайдемо для них власні значення та відповідні їм власні вектори. В результаті отримаємо:
Далі, сформувавши матриці , та запишемо сингулярне розкладання заданої матриці :
Після цього, знаючи сингулярне розкладання, псевдообернена матриця обчислюється наступним чином: