Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць
В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця
. Якщо ж матриця
прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці
, яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли
— квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця
збігається з оберненою матрицею
.
Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці
з розмірами
називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:
де означає перехід до сполученої матриці.
Розглянемо один із способів побудови псевдооберненої матриця. Відомо, що будь-яку дійсну матрицю з розмірами
можна представити у наступному вигляді:
де матриця сформована з
ортонормованих власних векторів матриці
, матриця
— з
ортонормованих власних векторів матриці
, матриця
з розмірами
має вигляд:
де і кожен з елементів
є невід'ємним значеннями квадратних коренів із загальних власних значень матриць
і
і називаються сингулярними числами матриці
. Припустимо, що сингулярні числа впорядковані
. Якщо ранг матриці
дорівнює
, то
. Розкладання (2) називають сингулярним розкладанням матриці
. Знаючи сингулярне розкладання, можна відразу виписати псевдообернену матрицю:
де .
Можливі й інші варіанти розкладання (2). Наприклад при можна записати:
де матриця сформована із
ортонормованих власних векторів, відповідних найбільшим власним значенням матриці
.
Знаходження псевдооберненої матриці — приклад:
Використовуючи вище розглянутий алгоритм, для матриці розмірності
:
знайти псевдообернену матрицю .
Для цього, на першому кроці, скориставшись операцією множення матриць обчислимо матриці і
та знайдемо для них власні значення та відповідні їм власні вектори. В результаті отримаємо:
Далі, сформувавши матриці ,
та
запишемо сингулярне розкладання заданої матриці
:
Після цього, знаючи сингулярне розкладання, псевдообернена матриця обчислюється наступним чином: