Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  — квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Розглянемо один із способів побудови псевдооберненої матриця. Відомо, що будь-яку дійсну матрицю  з розмірами  можна представити у наступному вигляді:

де матриця сформована з ортонормованих власних векторів матриці , матриця  — з ортонормованих власних векторів матриці , матриця з розмірами  має вигляд:

де і кожен з елементів є невід'ємним значеннями квадратних коренів із загальних власних значень матриць  і  і називаються сингулярними числами матриці . Припустимо, що сингулярні числа впорядковані . Якщо ранг матриці дорівнює , то . Розкладання (2) називають сингулярним розкладанням матриці . Знаючи сингулярне розкладання, можна відразу виписати псевдообернену матрицю:

де .

Можливі й інші варіанти розкладання (2). Наприклад при можна записати:

де матриця сформована із  ортонормованих власних векторів, відповідних найбільшим власним значенням матриці .

Знаходження псевдооберненої матриці — приклад:

Використовуючи вище розглянутий алгоритм, для матриці  розмірності :

знайти псевдообернену матрицю .

Для цього, на першому кроці, скориставшись операцією множення матриць обчислимо матриці  і  та знайдемо для них власні значення та відповідні їм власні вектори. В результаті отримаємо:

Далі, сформувавши матриці ,  та  запишемо сингулярне розкладання заданої матриці :

Після цього, знаючи сингулярне розкладання, псевдообернена матриця обчислюється наступним чином:

Блок-схема алгоритму знаходження псевдооберненої матриці