Нехай задано вектор і вісь . З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор .
Проекцією вектора на вісь називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора та осі співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через або , де – будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Проекція вектора на вісь задовольняє наступним властивостям:
- Рівні вектори мають рівні проекції на одну і ту саму вісь.
-
Проекція суми векторів на довільну вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь: .
Проекція суми векторів на вісь
-
Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між цим вектором і віссю :
Зауваження: кут відраховується від осі до вектора проти ходу годинникової стрілки.
- Проекція вектора на вісь дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор перпендикулярний до осі.
- При множенні вектора на число його проекція множиться на те саме число: .
Проекція вектора на вісь – приклад:
Дано . Знайти проекцію вектора на координатну вісь , якщо вектори складають з цією віссю кути відповідно.
Отже, згідно з розглянутими вище властивостями проекцій (властивість 2 та 5) отримаємо:
Далі, застосувавши для кожного з доданків останнього виразу формулу (1), знайдемо шукану проекцію: