Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що формулюється наступним чином:

  1. Похідна постійної величини дорівнює нулю: .
  2. Якщо кожна з функцій , , диференційовна в деякій точці , то диференційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних: .
  3. Якщо функції  і  диференційовні в точці  , то їх добуток диференційовний в цій точці і має місце формула: .

    Зауваження: якщо функція , то , тобто постійна величина виноситься за знак похідної.

  4. Якщо функції  диференційовні в точці , причому , то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою: .

    Зауваження: якщо чисельник дробу постійна величина (функція ), то ; якщо знаменник дробу – постійна величина (функція ), то .

Зазначимо, що на підставі означення похідної та розглянутих вище правил диференціювання складається таблиця похідних основних елементарних функцій:

Таблиця похідних основних елементарних функцій

Ці правила та формули слід запам’ятати і використовувати для знаходження похідних функцій.

Зауваження: починати диференціювання треба із застосування відповідних правил і лише після цього використовувати формули диференціювання основних елементарних функцій (таблиця похідних). Слід, також, мати на увазі, що взагалі не обов’язково диференціювати задану функцію відразу. Можна попередньо зробити її тотожні перетворення, якщо це доцільно, а потім продиференціювати.

Правила диференціювання та таблиця похідних – приклади розв’язання:

Приклад 1: заcтосовуючи правила і формули диференціювання, знайти похідну функції .

Застосовуючи послідовно правила (2), (1), (3) і формулу , отримаємо:

Приклад 2: для функції знайти і .

Отже, на першому кроці, використовуючи правила (2)(4) і (3), знайдемо похідну заданої функції. В результаті будемо мати:

Підставляючи далі задані значення аргументу  у вираз для похідної, отримаємо:

Приклад 3: знайти , якщо .

Для початку, перепишемо задану функцію у наступному вигляді: . Після цього, знайдемо :

Отже, при отримаємо:

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*