Припустимо, що функція задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:
де допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.
Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція має обернену функцію .
Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де – проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:
Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .
Таким чином, похідну функції, заданої параметрично, знаходять за формулою:
Похідна функції, заданої параметрично – приклади розв’язання:
Приклад 1: знайти похідну функції заданої в параметричному вигляді за допомогою наступних рівнянь:
Отже, для початку знаходимо і : . Підставляючи далі знайдені вирази у формулу (1), отримаємо:
Приклад 2: знайти похідну функції заданої параметрично:
Зазначимо, що в якості параметром заданої функції використовується допоміжна змінна . Тому формула для знаходження похідної, в даному випадку, записується в наступному вигляді: . Отже, знаходимо і : . Звідси:
Приклад 3: знайти , якщо:
Отже, діючи як і в попередніх прикладах, будемо мати:
Приклад 4: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:
Знайдемо спочатку вирази для похідних та . В результаті матимемо: . Звідси, похідна описується формулою:
Підставляючи далі в отриману формулу , обчислюємо значення похідної в заданій точці:
Приклад 5: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:
Отже, функції і мають такі похідні по : . Тоді дорівнює:
Звідси, при , похідна функції дорівнює: