Припустимо, що функція задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:
де допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.
Отже, припустимо, що функції і
в деякій області зміни параметра
мають похідні, причому
. Крім того, будемо вважати, що функція
має обернену функцію
.
Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію:
, де
– проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:
Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді:
.
Таким чином, похідну функції, заданої параметрично, знаходять за формулою:
Похідна функції, заданої параметрично – приклади розв’язання:
Приклад 1: знайти похідну функції заданої в параметричному вигляді за допомогою наступних рівнянь:
Отже, для початку знаходимо і
:
. Підставляючи далі знайдені вирази у формулу (1), отримаємо:
Приклад 2: знайти похідну функції заданої параметрично:
Зазначимо, що в якості параметром заданої функції використовується допоміжна змінна . Тому формула для знаходження похідної, в даному випадку, записується в наступному вигляді:
. Отже, знаходимо
і
:
. Звідси:
Приклад 3: знайти , якщо:
Отже, діючи як і в попередніх прикладах, будемо мати:
Приклад 4: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:
Знайдемо спочатку вирази для похідних та
. В результаті матимемо:
. Звідси, похідна
описується формулою:
Підставляючи далі в отриману формулу , обчислюємо значення похідної в заданій точці:
Приклад 5: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:
Отже, функції і
мають такі похідні по
:
. Тоді
дорівнює:
Звідси, при , похідна функції дорівнює: