Похідна параметрично заданої функції

Припустимо, що функція  задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:

де  допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.

Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра  мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція  має обернену функцію .

Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де  — проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .

Таким чином, похідну функції, заданої параметрично, знаходять за формулою:

Похідна функції, заданої параметрично — приклади розв'язання:

Приклад 1: знайти похідну функції заданої в параметричному вигляді за допомогою наступних рівнянь:

Отже, для початку знаходимо і : . Підставляючи далі знайдені вирази у формулу (1), отримаємо:

Приклад 2: знайти похідну функції заданої параметрично:

Зазначимо, що в якості параметром заданої функції використовується допоміжна змінна . Тому формула для знаходження похідної, в даному випадку, записується в наступному вигляді: . Отже, знаходимо і : . Звідси:

Приклад 3: знайти , якщо:

Отже, діючи як і в попередніх прикладах, будемо мати:

Приклад 4: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:

Знайдемо спочатку вирази для похідних  та . В результаті матимемо:  . Звідси, похідна  описується формулою:

Підставляючи далі в отриману формулу , обчислюємо значення похідної в заданій точці:

Приклад 5: знайти похідну функції заданої параметрично та обчислити її значення при , якщо:

Отже, функції і мають такі похідні по : . Тоді дорівнює:

Звідси, при , похідна функції дорівнює: