Пошук власних векторів матриці методом Данилевського

Розглянутий в параграфі Пошук власних значень матриці метод Данилевського дає можливість визначати не тільки всі власні значення матриці , а і всі її власні вектори, при умові, що відповідні їм власні значення являються відомими. Покажемо, яким чином це реалізується. Отже, нехай  — власне значення матриці , а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса .

Знайдемо власний вектор матриці , який відповідає власному значенню . Для цього, запишемо лінійне рівняння наступного вигляду: . Звідси або у матрично-векторній формі:

Перемноживши матриці, отримаємо систему для визначення координат власного вектора :

Система (3) — однорідна. Рішення її може бути знайдене в такий спосіб. Покладемо . Тоді, починаючи з останнього рівняння, послідовно отримаємо:

Таким чином, шуканий власний вектор дорівнює .

Позначимо тепер через власний вектор матриці , що відповідає власному значенню . Тоді, виходячи з того, що (де ) отримаємо . Домноживши обидві частини останього рівняння зліва на , отримаємо . Це означає, що вектор є власним вектором матриці , що відповідає власному значенню , тобто:

Пошук власних векторів матриці методом Данилевського — приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм методу Данилевського, знайти власний вектор матриці , що відповідає власному значенню .

Для цього, на першому кроці, запишемо процес переходу від матриці  до подібної їй матриці Фробеніуса . Відмітимо, що даний процес складається з трьох етапів, кожен з яких базується на використанні формул (4) та (5) з теоретичного матеріалу, що міститься за вказаним вище посиланням.

Після цього, переходимо до обчислення елементів матриці перетворення .

І на останньому кроці, обрахуємо значення координат власного вектора що відповідає власному значенню , матриці Фробеніуса , після чого, скориставшись формулою (5), визначимо власний вектор заданої матриці .

Блок-схема алгоритму пошуку власних векторів матриці методом Данилевського

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар