Якщо функція визначена співвідношенням
то
називають неявною функцією від
.
Інколи рівняння (1) можна розв’язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного
, але частіше розв’язання рівняння (1) відносно
неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.
Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:
- Продиференціювати по
обидві частини рівності (1), при цьому
розглядається як незалежна змінна, а
є функцією від
, тобто
, а
— це шукана похідна.
- Розв’язати отримане рівняння відносно
.
Похідна неявно заданої функції – приклади розв’язання:
Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.
Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що
є функцією від
:
. Розв’язуючи отримане рівняння відносно
, отримаємо:
Приклад 2: знайти похідну від неявно заданої функції наступного вигляду: .
Скориставшись правилом диференціювання неявної функції, матимемо: . Розв’язуємо далі отримане рівняння відносно функції
:
Приклад 3: знайти похідку функції .
Продиференціюємо обидві частини заданого рівняння по , враховуючи, що
є функцією від
. В результаті будемо мати:
. Далі, виконавши певні перетворення, та розв’язавши отримане рівняння відносно
, знайдемо похідну неявної функції:
Приклад 4: знайти , якщо
.
Діючи, як і в попередньому прикладі, будемо мати:
Приклад 5: для функції знайти
.
Отже, диференціюючи обидві частини рівняння по незалежній змінній , отримаємо:
. Далі, після спрощення, матимемо: