Прямокутник – це двовимірна фігура з чотирма сторонами, чотирма вершинами і чотирма прямими кутами. Однією з головних характеристик прямокутника є те, що дві його протилежні сторони рівні й паралельні одна одній.
Площа прямокутника визначається як простір, охоплений двовимірною фігурою. Крім того, ми також можемо розглядати площу як простір всередині периметра прямокутника.
В даній публікації ми побачимо, чому площа прямокутника дорівнює добутку двох його сторін. Крім того, розглянемо кілька вправ щодо площ прямокутника, щоб освоїти використання формули.
Навігація по сторінці.
За якою формулою обчислюється площа прямокутника?
Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін (довжини на ширину) і визначається за формулою: , де – площа прямокутника.
Для доведення даного твердження добудуємо прямокутник до квадрата зі стороною .
Як нам відомо, площа отриманого квадрата дорівнює .
З іншого боку, цей квадрат складений з прямокутника з площею , рівного йому прямокутника, також з площею (так як, по властивості площ, рівні багатокутники мають рівні площі) і двох квадратів з площами та відповідно.
Але, виходячи з того, що площа многокутника складеного з кількох многокутників дорівнює сумі площ цих многокутників, отримаємо:
Таким чином твердження доведено, тобто площа прямокутника дорівнює добутку суміжних сторін.
Зауваження: якщо позначити довжини суміжних сторін прямокутника буквами та відповідно, то формула площі перепишеться у більш звичній буквенній формі: .
Площа прямокутника через діагоналі.
Також доволі часто трапляються ситуації, коли доводиться шукати площу прямокутника, значення довжини чи ширини якого являються невідомими.
Що робити тоді? В такому випадку доцільно скористатися загальною для всіх чотирьокутників формулою і знайти площу прямокутника через діагоналі.
Площа будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює добутку діагоналей на синус кута між ними. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому значення кута та однієї діагоналі вистачить для знаходження площі:
Зауваження: якщо довжини діагоналей прямокутника позначити буквю , то формула площі через діагоналі перепишеться у більш звичній буквенній формі:
Площа прямокутника – приклади з відповідями.
У наступних прикладах для отримання відповіді використовується формула для вимірювання площі прямокутника. Кожен приклад має відповідне рішення, але рекомендуємо спробувати розв’язати вправи самостійно, перш ніж дивитися відповідь.
Приклад 1: знайти площу прямокутника, основа якого дорівнює , а висота .
Отже, за умовою маємо, що довжина та ширина прямокутника дорівнює і відповідно. Використавши формулу площі із заданими значенням матимемо:
Таким чином, площа прямокутника дорівнює .
Зауваження: при розв’язуванні задач потрібно пам’ятати, що площа вимірюється в одиницях квадратних, тому якщо розміри задані в міліметрах, то площа буде в міліметрах квадратних, сантиметрах – площа в сантиметрах квадратних, метрах – площа в метрах квадратних і так далі.
Приклад 2: основа прямокутника дорівнює , а його площа . Яка довжина його висоти?
Зазначимо, що у цьому випадку ми повинні знайти вистоту квадрата, знаючи його площу та основу. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задані значення і знаходимо висоту :
Звідси, довжина висоти прямокутника дорівнює .
Приклад 3: периметр прямокутника дорівнює . Знайти його площу, якщо одна сторона прямокутника в одинадцять разів менша від іншої.
Отже, припустимо, що . Тоді, за умовою, . Далі, за формулою периметра прямокутника будемо мати:
Звідси, і .
Використавши далі формулу площі із отриманими значенням матимемо:
Таким чином, площа прямокутника дорівнює .
Приклад 4: знайти площу прямокутника якщо відомо, що діагональ і сторона .
Отже, для початку, розглянемо прямокутний трикутник , з якого, за теоремою Піфагора, знайдемо невідому сторону заданого прямокутника:
Далі, використавши формулу площі із значенням ширини та довжини прямокутника матимемо:
Звідси, площа прямокутника дорівнює .
Приклад 5: діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 30 градусів і дорівнюють . Чому дорівнює площа прямокутника?
Підставляючи дані у формулу площі прямокутника через діагоналі отримаємо:
Таким чином, площа прямокутника дорівнює .
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про прямокутник? Перегляньте ці сторінки:
- Прямокутник і його властивості.
- Діагональ прямокутника – формули та приклади
- Периметр прямокутника – формули та приклади.
Понятно написано