Периметр і площа трикутника

Трикутник — це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: .

В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: . Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедреним, то формула може бути записана у вигляді: , де  — бічні сторони трикутника і  — основа.

Зауваження: якщо скористатись позначеннями , то формули для обчислення периметра різностороннього, рівнобедреного та рівностороннього трикутників перепишуться як  відповідно.

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник і його висоту . Покажемо, що .

Площа трикутника як половина площі паралелограма

Для цього, через вершини і трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам  і відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці . Чотирикутник  — паралелограм за означенням. Трикутники  і рівні ( та , як протилежні сторони паралелограма і  — спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма . Висота  трикутника  є також висотою паралелограма . Звідси, .

Зауваження: якщо скористатись відповідними позначеннями для висот і сторін трикутника , то згідно з доведеним твердженням маємо: , де  і  — висоти опущені на сторони  та  відповідно.

Відмітимо, що з доведеного вище твердження випливає, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів. Доведемо істинність і даного твердження.

Площа прямокутного трикутника як половина площі прямокутника

Отже, розглянемо прямокутний трикутник . Для даного трикутника, аналогічним чином, через вершини  та  проведемо прямі, паралельні сторонам  і  відповідно. Нехай дані прямі перетинаються в точці . Чотирикутник  — прмокутник. А як відомо, площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін.

Якщо в прямокутнику провести діагональ, то вона розбиває його на два рівних прямокутних трикутника ( та , як протилежні сторони прямокутника і  — спільна). Площі цих трикутників є рівними між собою і кожна дорівнює половині від площі всього прямокутника. Таким чином доведено, що площа трикутника , в даному випадку, рівна половині добутку його катетів.

Периметр трикутника — приклад:

Точка  лежить на стороні  трикутника . Периметр трикутника і дорівнює та відповідно, і відрізок . Знайти периметр трикутника .

Трикутник ABC

Виходячи з того, що, за умовою, периметр трикутника дорівнює , а сторона , приходимо до висновку, що . З аналогічних міркувань, для трикутника отримаємо: . Звідси, для периметра трикутника будемо мати: .

Площа трикутника — приклад:

У прямокутному трикутнику  побудований відрізок , причому . Знайти площу трикутника , якщо і .

Трикутник ABC

Так як сторона  трикутника  перпендикулярна стороні , то  — висота тупокутного трикутника , опущена з вершини  на продовження сторони . Отже, скориставшись твердженням, яке говорить про те, що площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони, для шуканої площі отримаємо: .

Блок-схема алгоритму знаходження периметра трикутника

Блок-схема алгоритму знаходження площі трикутника