Перша та друга інтерполяційні формули Гаусса

Нехай маємо Інтерполяційна формула Гаусса рівновіддалених вузлів інтерполяції Інтерполяційна формула Гаусса, де Інтерполяційна формула Гаусса, і для деякої функції Інтерполяційна формула Гаусса відомо її значення в даних вузлах, тобто Інтерполяційна формула Гаусса. Задача полягає у побудові інтерполяційного полінома, степінь якого не перевищує Інтерполяційна формула Гаусса і значення якого у візлах інтерполяції співпадає з відомими значеннями функції (Інтерполяційна формула Гаусса).

Даний поліном будемо шукати в наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (1) перепишемо у наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів Інтерполяційна формула Гаусса той самий спосіб, що і при виводі інтерполяційної формули Ньютона, послідовно знаходимо:

Інтерполяційна формула Гаусса

Далі, ввівши змінну Інтерполяційна формула Гаусса і зробивши відповідну заміну в формулі (2) отримуємо першу інтерполяційну формулу Гаусса:

Інтерполяційна формула Гаусса

або в скороченій формі:

Інтерполяційна формула Гаусса

де Інтерполяційна формула Гаусса.

Перша інтерполяційна формула Гаусса використовує центральні скінченні різниці Інтерполяційна формула Гаусса (в таблиці утворюють нижню ламану люнію позначену червоним кольором).

Таблиця центральних скінченних різниць

Таблиця центральних скінченних різниць

Аналогічним чином можна отримати другу інтерполяційну формулу Гаусса, яка використовує центральні різниці виду Інтерполяційна формула Гаусса(утворюють верхню ламану лінію позначену сірим кольором) і записується в наступному вигляді:

Інтерполяційна формула Гаусса

або в скороченій формі:

Інтерполяційна формула Гаусса

де Інтерполяційна формула Гаусса.

Зауваження: перша інтерполяційна формула Гаусса використовується для обчислення наближеного значення функції в тому випадку, коли Інтерполяційна формула Гаусса, тоді, як друга — коли Інтерполяційна формула Гаусса.

Інтерполяційна формула Гаусса — приклад:

Для функції, заданої таблицею своїх значень, обчислити наближене значення в точці Інтерполяційна формула Гаусса приклад, використовуючи при цьому інтерполяційну формулу Гаусса.

Інтерполяційна формула Гаусса приклад

Таблиця фіксованих значень функції

Виходячи з того, що точка Інтерполяційна формула Гаусса, для відшукання наближеного значення будемо використовувати першу інтерполяційну формулу Гаусса. Для цього, на першому кроці запишемо таблицю скінченних різниць. Для даної задачі вона прийме наступного вигляду:

Інтерполяційна формула Гаусса приклад

Таблиця скінченних різниць задачі

Далі, прийнявши Інтерполяційна формула Гаусса приклад і Інтерполяційна формула Гаусса приклад, отримаємо першу інтерполяційна формула Гаусса:

Інтерполяційна формула Гаусса приклад

Поклавши в даній формулі Інтерполяційна формула Гаусса приклад, знаходимо наближене значення функції в точці Інтерполяційна формула Гаусса приклад.

Інтерполяційна формула Гаусса приклад

Блок-схема програмної реалізації першої та другої інтерполяційної формули Гаусса:

Інтерполяційна формула Гаусса

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар