Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Нехай для функції Перша інтерполяційна формула Нютона задані значення i_interpolacijna_formyla_nytona2 для рівновіддалених вузлів, тобто i_interpolacijna_formyla_nytona31, де h крок інтерполяції. Потрібно знайти поліном i_interpolacijna_formyla_nytona4, степінь якого не перевищує n, і який в точках i_interpolacijna_formyla_nytona5 набуває значень i_interpolacijna_formyla_nytona61.

Даний поліном будемо шукати у наступному вигляді:

i_interpolacijna_formyla_nytona71

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (2) запишемо у наступному вигляді:

i_interpolacijna_formyla_nytona8

Задача полягає у знаходженні коефіцієнтів i_interpolacijna_formyla_nytona91. У виразі (2') покладемо i_interpolacijna_formyla_nytona10. В результаті отримаємо i_interpolacijna_formyla_nytona11.

Для того, щоб знайти коефіцієнт i_interpolacijna_formyla_nytona12 запишемо скінченну різницю першого порядку (скінченною різницею першого порядку називають різницю між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції, тобто, i_interpolacijna_formyla_nytona26):

i_interpolacijna_formyla_nytona13

Покладаючи в останньому виразі i_interpolacijna_formyla_nytona10, отримаємо i_interpolacijna_formyla_nytona14. Звідси i_interpolacijna_formyla_nytona15.

Для знаходження коефіцієнта i_interpolacijna_formyla_nytona16 запишемо скінченну різницю другого порядку. Для знаходження яких використовуються скінченні різниці першого порядку (i_interpolacijna_formyla_nytona27).

i_interpolacijna_formyla_nytona17

Знову, покладаючи в останній вираз i_interpolacijna_formyla_nytona10, отримаємо i_interpolacijna_formyla_nytona18. Звідки отримуємо i_interpolacijna_formyla_nytona19.

Продовжуючи даний процес, отримаємо загальну формулу для обчислення коефіцієнтів: i_interpolacijna_formyla_nytona20, де скінченні різниці i-го порядку визначаються наступним чином: i_interpolacijna_formyla_nytona28

Підставляючи знайдені коефіцієнти в формулу (2'), отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона:

i_interpolacijna_formyla_nytona21

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (3), зазвичай записують у дещо іншому вигляді. Для того вводять нову зміннуi_interpolacijna_formyla_nytona22. Підставляючи дану змінну в (3), перша інтерполяційна формула Ньютона набуде наступного вигляду:

i_interpolacijna_formyla_nytona23

де q представляє собою число кроків необхідних для досягнення точки x, виходячи з точки i_interpolacijna_formyla_nytona24. Таким чином, ми отримали кінцевий варіант першої інтерполяційної формули Ньютона.

Перша інтерполяційна формула Ньютона — приклад:

Нехай функція Перша інтерполяційна формула Нютона задана таблично:

i_interpolacijna_formyla_nytona30

Таблиця фіксованих значень функції

Необхідно, скориставшись першою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці i_interpolacijna_formyla_nytona311, яка являється відмінною від заданих. Для цього, на першому кроці обчислимо скінченні різниці до шостого порядку включно:

  1. Скінченні різниці першого порядку:
  2. i_interpolacijna_formyla_nytona38

  3. Скінченні різниці другого порядку:
  4. i_interpolacijna_formyla_nytona39

  5. Скінченні різниці третього порядку:
  6. i_interpolacijna_formyla_nytona34

  7. Скінченні різниці четвертого порядку:
  8. i_interpolacijna_formyla_nytona351

  9. Скінченні різниці п'ятого порядку:
  10. i_interpolacijna_formyla_nytona42

  11. Скінченні різниці шостого порядку: i_interpolacijna_formyla_nytona43.

Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку i_interpolacijna_formyla_nytona40, в формулу (4) отримуємо наближене значення функції в заданій точці:

i_interpolacijna_formyla_nytona45

Блок-схема програмної реалізації першої інтерполяційної формули Ньютона:

i_interpolacijna_formyla_nytona25

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар