Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції
Нехай для функції 
задані значення 
для рівновіддалених вузлів, тобто 
, де h — крок інтерполяції. Потрібно знайти поліном 
, степінь якого не перевищує n, і який в точках 
набуває значень 
.
Даний поліном будемо шукати у наступному вигляді:
Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (2) запишемо у наступному вигляді:
Задача полягає у знаходженні коефіцієнтів 
. У виразі (2') покладемо 
. В результаті отримаємо 
.
Для того, щоб знайти коефіцієнт 
запишемо скінченну різницю першого порядку (скінченною різницею першого порядку називають різницю між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції, тобто, 
):
Покладаючи в останньому виразі , отримаємо 
. Звідси 
.
Для знаходження коефіцієнта 
запишемо скінченну різницю другого порядку. Для знаходження яких використовуються скінченні різниці першого порядку (
).
Знову, покладаючи в останній вираз , отримаємо 
. Звідки отримуємо 
.
Продовжуючи даний процес, отримаємо загальну формулу для обчислення коефіцієнтів: 
, де скінченні різниці i-го порядку визначаються наступним чином: 
Підставляючи знайдені коефіцієнти в формулу (2'), отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона:
Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (3), зазвичай записують у дещо іншому вигляді. Для того вводять нову змінну
. Підставляючи дану змінну в (3), перша інтерполяційна формула Ньютона набуде наступного вигляду:
де q представляє собою число кроків необхідних для досягнення точки x, виходячи з точки 
. Таким чином, ми отримали кінцевий варіант першої інтерполяційної формули Ньютона.
Перша інтерполяційна формула Ньютона — приклад:
Нехай функція задана таблично:
Таблиця фіксованих значень функції
Необхідно, скориставшись першою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці 
, яка являється відмінною від заданих. Для цього, на першому кроці обчислимо скінченні різниці до шостого порядку включно:
- Скінченні різниці першого порядку:
- Скінченні різниці другого порядку:
- Скінченні різниці третього порядку:
- Скінченні різниці четвертого порядку:
- Скінченні різниці п'ятого порядку:
- Скінченні різниці шостого порядку:
.
Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку 
, в формулу (4) отримуємо наближене значення функції в заданій точці:
Блок-схема програмної реалізації першої інтерполяційної формули Ньютона:
Загрузка ...