Означення паралелограма. Властивості паралелограма.

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні (окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб).

Зауваження: якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником; якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є ромбом; якщо діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є квадратом (тобто квадрат об’єднує ознаки прямокутника та ромба).

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону. На рисунку, що міститься нижче, кожен із відрізків є висотою паралелограма . При цьому, кажуть що висоти проведено до сторін і , а висоти – до сторін і відповідно.

Висота паралелограма

Зображення паралелограма та його висоти

Розглянемо деякі властивості паралелограма.

Протилежні сторони паралелограма рівні. Для того, щоб довести це твердження розглянемо зображений вище паралелограм, проведемо одну з його діагоналей, а саме , та покажемо, що трикутники та рівні.

Протилежні сторони паралелограма рівні

Отже, виходячи з того, що у цих трикутників сторона – спільна, кути 1 та 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих та і січній , кути 3 та 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих та і січній , приходимо до висновку, що трикутники та рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси, і .
Протилежні кути паралелограма рівні. Для доведення властивості номер два знову-таки розглянемо паралелограм з рисунка вище, і покажемо, що і . Отже, під час доведення попередньої властивості, було встановлено, що . Звідси, . З рівності кутів 1 і 2 та 3 і 4 випливає, що . Отже, .
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. На рисунку, що міститься нижче, зображено паралелограм , діагоналі якого перетинаються в точці . Доведемо, що і . Для цього, розглянемо трикутники і . Виходячи з того, що та і та рівні як різносторонні при паралельних прямих і та січних та відповідно, то, скориставшись властивістю номер один, отримаємо: . Отже, трикутники і рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси і .

Властивості паралелограма

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл

Задачі на паралелограм – приклад:

Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні , рухаючи від вершини гострого кута. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює .

Нехай бісектриса тупого кута паралелограма перетинає сторону у точці . Тоді, за умовою, . Кути і рівні також за умовою. Кути і рівні як різносторонні при паралельних прямих і та січній . Тоді . Отже, трикутник рівнобедрений, що свідчить про те, що .

Задачі на паралелограм приклад

Паралелограм ABCD

Припустимо тепер, що . Тоді , а . Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то його периметр обчислюється за формулою . Звідси, виходячи з того, що, за умовою, периметр паралелограма дорівнює , отримаємо: . Отже, і .