Паралелограм. Означення та властивості паралелограма

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні (окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб).

Зауваження: якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником; якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є ромбом; якщо діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є квадратом (тобто квадрат об'єднує ознаки прямокутника та ромба).

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону. На рисунку, що міститься нижче, кожен із відрізків є висотою паралелограма . При цьому, кажуть що  висоти проведено до сторін  і , а висоти  — до сторін  і  відповідно.

Зображення паралелограма та його висоти

Розглянемо деякі властивості паралелограма.

1. Протилежні сторони паралелограма рівні. Для того, щоб довести це твердження розглянемо зображений вище паралелограм, проведемо одну з його діагоналей, а саме , та покажемо, що трикутники та рівні.

   

   Протилежні сторони паралелограма рівні

   Отже, виходячи з того, що у цих трикутників сторона  — спільна, кути 1 та 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих та  і січній , кути 3 та 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих та  і січній , приходимо до висновку, що трикутники  та  рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси,  і .
2. Протилежні кути паралелограма рівні. Для доведення властивості номер два знову-таки розглянемо паралелограм з рисунка вище, і покажемо, що і . Отже, під час доведення попередньої властивості, було встановлено, що . Звідси, . З рівності кутів 1 і 2 та 3 і 4 випливає, що . Отже, .
3. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. На рисунку, що міститься нижче, зображено паралелограм , діагоналі якого перетинаються в точці . Доведемо, що і . Для цього, розглянемо трикутники і . Виходячи з того, що  та  і та  рівні як різносторонні при паралельних прямих  і  та січних  та відповідно, то, скориставшись властивістю номер один, отримаємо: . Отже, трикутники  і  рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси  і .

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл

Задачі на паралелограм — приклад:

Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні , рухаючи від вершини гострого кута. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює .

Нехай бісектриса тупого кута паралелограма  перетинає сторону  у точці . Тоді, за умовою, . Кути і рівні також за умовою. Кути  і рівні як різносторонні при паралельних прямих  і  та січній . Тоді . Отже, трикутник рівнобедрений, що свідчить про те, що .

Паралелограм ABCD

Припустимо тепер, що . Тоді , а . Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то його периметр обчислюється за формулою . Звідси, виходячи з того, що, за умовою, периметр паралелограма дорівнює , отримаємо: . Отже, і .

Блок-схема алгоритму перевірки чи являється чотирикутник паралелограмом