Паралелограм. Означення та властивості паралелограма
Паралелограмом називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні (окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб).
Зауваження: якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником; якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є ромбом; якщо діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є квадратом (тобто квадрат об'єднує ознаки прямокутника та ромба).
Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону. На рисунку, що міститься нижче, кожен із відрізків є висотою паралелограма
. При цьому, кажуть що висоти
проведено до сторін
і
, а висоти
— до сторін
і
відповідно.
Зображення паралелограма та його висоти
Розглянемо деякі властивості паралелограма.
- Протилежні сторони паралелограма рівні. Для того, щоб довести це твердження розглянемо зображений вище паралелограм, проведемо одну з його діагоналей, а саме
, та покажемо, що трикутники
та
рівні.
Протилежні сторони паралелограма рівні
Отже, виходячи з того, що у цих трикутників сторона— спільна, кути 1 та 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих
та
і січній
, кути 3 та 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих
та
і січній
, приходимо до висновку, що трикутники
та
рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси,
і
.
- Протилежні кути паралелограма рівні. Для доведення властивості номер два знову-таки розглянемо паралелограм з рисунка вище, і покажемо, що
і
. Отже, під час доведення попередньої властивості, було встановлено, що
. Звідси,
. З рівності кутів 1 і 2 та 3 і 4 випливає, що
. Отже,
.
- Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. На рисунку, що міститься нижче, зображено паралелограм
, діагоналі якого перетинаються в точці
. Доведемо, що
і
. Для цього, розглянемо трикутники
і
. Виходячи з того, що
та
і
та
рівні як різносторонні при паралельних прямих
і
та січних
та
відповідно, то, скориставшись властивістю номер один, отримаємо:
. Отже, трикутники
і
рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси
і
.
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл
Задачі на паралелограм — приклад:
Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні , рухаючи від вершини гострого кута. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює
.
Нехай бісектриса тупого кута паралелограма
перетинає сторону
у точці
. Тоді, за умовою,
. Кути
і
рівні також за умовою. Кути
і
рівні як різносторонні при паралельних прямих
і
та січній
. Тоді
. Отже, трикутник
рівнобедрений, що свідчить про те, що
.
Паралелограм ABCD
Припустимо тепер, що . Тоді
, а
. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то його периметр обчислюється за формулою
. Звідси, виходячи з того, що, за умовою, периметр паралелограма дорівнює
, отримаємо:
. Отже,
і
.