Похідна функції. Як знайти похідну функції

Нехай функція ) визначена в деякому околі точки і нехай – точка цього околу ().

Якщо відношення має границю при , то ця границя називається похідною функції в точці  і позначається . Таким чином,

тобто похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції  в точці  до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Якщо функція  в точці  має скінченну похідну, то вона називається диференційованою в цій точці.

Ілюстрація до визначення похідної функції в точці

Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу , то , де і – приріст аргументу та приріст функції відповідно.

Читати далі

Мішаний добуток трьох векторів

Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .

Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка  – права і зі знаком мінус, коли ця трійка – ліва.

Мішаний добуток векторів

Ілюстрація до визначення мішаного добутку

Дійсно, . Тут – площа паралелограма, побудованого на векторах  та  і  – висота паралелепіпеда. Таким чином, .

Читати далі

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє наступним умовам:

  1. Вектор  перпендикулярний кожному з векторів  і .
  2. Довжина вектора  дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто , де – кут між даними векторами.
  3. Вектори  і  утворюють праву трійку.

Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме  та . Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто .

Векторний добуток двох векторів

Ілюстрація до визначення векторного добутку

Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від  до  спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.

Читати далі

Наближене обчислення числа Пі

Число Пі – це математична константа, яка представляє собою відношення довжини кола до його діаметра. Значення цієї константи приблизно дорівнює 3.14 в звичайних десяткових позначеннях. Багато формул в математиці, природознавстві і техніці включають Пі, що робить його однією з найважливіших математичних констант. До прикладу, площа кола дорівнює Пі, помноженому на квадрат його радіусу.

Оскільки Пі є ірраціональним числом, його значення не може бути виражено точно як дріб, що має цілі числа як в чисельнику, так і в знаменнику. Тобто, його десяткове подання ніколи не закінчується і ніколи не повторюється.

Авторство відкриття числа Пі невідомо і приписується геометрам з Стародавнього Єгипту, Індії, Греції та Вавилону. Першу спробу обчислити його точне значення запропонував Архімед: він вписував в коло і описував навколо нього правильні багатокутники, згодом зробивши висновок, що значення цієї константи лежить в інтервалі між і .

Обчислення числа Пі – спосіб Архімеда

Приблизно через 600 років після Архімеда китайський математик Цзу Чунчжі застосував аналогічний підхід для правильного багатокутника з 12288 сторонами. Це призвело до наближення значення числа Пі до , яке відповідає шести десятковим розрядам. Зазначимо, що отриманий таким чином результат являвся найбільш точним розрахунком числа протягом наступних 900 років.

Читати далі

Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів і розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де – менший кут між векторами та  (). Разом із символом  в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Читати далі

Проекція вектора на вісь

Нехай задано вектор і вісь L. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор A1B1.

Проекцією вектора на вісь L називають довжину вектора A1B1, взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора A1B1 та осі L співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.

Проекція вектора на вісь

Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь

Проекцію вектора будемо позначати через  або , де – будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.

Читати далі

Множення вектора на число

Добутком вектора на число називається вектор , колінеарний вектору , який має довжину і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо , і в протилежний, якщо (для позначення використовують запис ).

Множення вектора на число

Зауваження: якщо вектор  заданий своїми координатами та , то добуток цього вектора на число  – це вектор , координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : .

Читати далі

Додавання і віднімання векторів

Нехай  і – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор . Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком вектора  , а кінець – із кінцем  (правило трикутника).

Сума векторів, правило трикутника

Додавання векторів – правило трикутника

Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори  та  приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .

Читати далі

Алгоритм Шімбелла (реалізація в середовищі Delphi)

Delphi-програма призначена для знаходження найкоротших шляхів від початкової вершини (вершина №1) до всіх інших вершин орієнтованого графа (та підрахунку довжин даних шляхів), використовуючи для цього матричний метод Шімбелла.

Головна форма розглядуваного проекту складається з панелі інструментів (містить кнопки «Додати вершину», «Видалити вершину», «Додати ребро», «Видалити ребро», «Видалити граф» і «Знайти шляхи мінімальної довжини»), області графічного представлення, області представлення графа у вигляді матриці суміжності (лщмпонент типу TStringGrid) та області виводу результатів (компонент типу TMemo, призначений для виводу розв’язку у вигляді списку ребер).

Для того, щоб намалювати орієнтований граф, на першому кроці, потрібно активізувати кнопку панелі задач під назвою «Додати вершину». Після цього, за допомогою лівої кнопки мишки, розставити їх в області форми «Граф».

schimbels_method_delphi1

Створення вершин орієнтованого графа

Зауваження: в delphi-програмі передбачена можливість переміщення вершин побудованого графа. Для цього достатньо натиснути лівою кнопкою мишки по необхідній вершині та перетягнути її в потрібне місце (переміщення можливе лише в тому випадку, коли програма знаходиться в режимі розміщення вершин).

Читати далі

Означення вектора. Напрям і модуль вектора

У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.

Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.

Нульовий вектор, колінеарні вектори, рівні вектори

Ілюстрація до визначення вектора

Вектор визначають двома точками: перша – це початок, друга – його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці і кінець у точці (стрілка вказує напрям вектора).

Читати далі