Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 і 11

Правила подільності або тести подільності мають широкий спектр застосувань в математиці. До прикладу, скориставшись даними правилами при розкладанні чисел на прості множники чи визначенні, чи є число простим чи складеним, можна значно спростити обчислювальний процес задач такого типу. Зазначимо, що опанувавши матеріал цього параграфа, Ви дізнаєтесь, як, не виконуючи операцію ділення, визначити, чи ділиться дане натуральне число націло на 2, 3, 4, 5, 8910 і 11.

  1. ознака подільності на 2: число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується парною цифрою, тобто однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

    Доведення покажемо на прикладі чотиризначного числа. Отже, нехай  — десяткова запис деякого числа , тобто  — цифра тисяч,  — цифра сотень,  — цифра десятків і  — цифра одиниць даного числа. Значить, . Нехай  ділиться на 2. Так як 1000, 100 і 10 діляться на 2, то за властивістю 4 подільності (міститься нижче) числа , і  також діляться на 2. Тоді за властивістю 2 подільності сума ділиться на 2 і за тією ж властивістю, число теж ділиться на 2. І навпаки, якщо  ділиться на 2, то з огляду на подільність на 2 доданків  і  маємо:  ділиться на 2 (по властивості подільності). Наприклад, число 2300574 діляться на 2, а 100001 не діляться. Абсолютно аналогічно доводяться наступні дві ознаки подільності;

  1. ознака подільності на 5: число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується цифрами 0 або 5. Наприклад, число 1000200 діляться на 5, а число 234782 на 5 не діляться;

  2. ознака подільності на 10: число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується цифрою 0. Наприклад, число 3270 діляться на 10, а числа 379 не діляться;

  3. ознака подільності на 4: число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли двозначне число, утворене його двома останніми цифрами, ділиться на 4.

    Доведення покажемо на прикладі чотиризначного числа. Отже, нехай . Вираз ділиться на 4. Якщо число  ділиться на 4, то за властивістю 2 подільності число також ділиться на 4. І навпаки, якщо ділиться на 4, то відповідно до властивості подільності дане число ділиться на 4, що і треба було довести. До прикладу, число 163548 ділиться на 4, так як число 48 ділиться на 4, а число 8537 на 4 не ділиться, так як 37 не ділиться на 4;

  4. ознака подільності на 8: число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли тризначне число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8 (доводиться аналогічно доведенню ознаки подільності на 4);

  5. Ознака подільності на 3: число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

    Доведення покажемо, як і у попередніх випадках, на прикладі чотиризначного числа:

    Легко бачити, що дане число  ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 3 вираз , тобто сума цифр даного числа. Наприклад, число 538128 ділиться на 3, так як сума його цифр ділиться на 3. Число 3332 не ділиться на 3, так як сума його цифр , очевидно, на 3 не ділиться;
  6. Ознака подільності на 9: число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9 (доведення аналогічне доведенню ознаки подільності на 3);

  7. Ознака подільності на 11: число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця між сумою його цифр які займають непарні місця, і сумою цифр, які займають парні місця, ділиться на 11.

    Доведення покажемо на прикладі пятизначного числа:

    Виходячи з того, що вираз ділиться на 11 то число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 11 вираз , що і треба було довести. До прикладу, число 5381387 ділиться на 11, так як різниця між сумою його цифр які займають непарні місця, і сумою цифр, які займають парні місця ділиться на 11. Число 5381 не ділиться на 11, так як відповідний йому вираз , на це число не ділиться.

Властивості подільності натуральних чисел:

  1. Якщо число  ділиться на , а число  ділиться на , то число , також, ділиться на число .
  2. Якщо кожне з двох чисел  і  ділиться на деяке число , то їх сума і різниця діляться на це число.
  3. Якщо одне з двох чисел  і  ділиться на деяке число , а інше на нього не ділиться, то їх сума і різниця не діляться на це число.
  4. Якщо одне з двох чисел  і  ділиться на деяке число , то і їх добуток ділиться на це число.

Ознаки подільності — приклад 1:

Знайти дві останні цифри числа , якщо воно ділиться на 90.

Отже, для початку, розкладемо 90 на множники. В результаті будемо мати: . Число ділиться на 10, значить, закінчується нулем. Оскільки воно ділиться і на 9, третя цифра може дорівнювати лише 8 (інакше сума цифр числа не ділиться на 9). Звідси, це число 8280.

Ознаки подільності — приклад 2:

Знайти цифри  і  числа , якщо це число ділиться на 72.

Розкладемо 72 на множники: . Числа 9 та 8 взаємно прості, тому, щоб умова задовольнялась, досить перевірити ознаки подільності на 9 і на 8. Сума цифр числа повинна ділиться на 9, тому, + дорівнює або 8, або 17 (при цьому сума цифр числа дорівнює або 18, або 27).

Якщо , цифри  і  — це 8 і 9 (ніякі інші дві цифри в сумі не дають 17). Оскільки  — це парна цифра (це необхідно, щоб число ділилося на 8), шукане число має дорівнювати 42948. Але це число не ділиться на 8.

Якщо , за ознакою подільності на 4 може дорівнювати лише 0, 4 або 8. Тоді цифра  дорівнює 8, 4 або 0 відповідно. З чисел 42048, 42444, 42840 на 8 діляться тільки 42048 і 42840. Звідси і або і .

Ознаки подільності — приклад 3:

На дошці написано число 321321321321. Які цифри необхідно стерти, щоб отримати найбільше можливе число, що ділиться на 9? Чому дорівнює це найбільше число?

Сума цифр заданого числа дорівнює 24. Після стирання цифр має залишитися число з сумою цифр, кратною 9. Оскільки ми шукаємо найбільше з таких чисел, сума його цифр повинна дорівнювати 18. Значить, сума стертих цифр повинна дорівнювати 6. Щоб число, яке залишилось, було якомога більше, кількість стертих цифр має бути якомога меншою. Значить, потрібно стерти дві трійки. Виходячи з того, що ми шукаємо найбільше можливе число, то в старших розрядах необхідно зберегти великі цифри. Тому, потрібно стерти дві останні тройкі. Звідси, шукане число дорівнює 3213212121.

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар