Означення вектора. Напрям і модуль вектора

У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі. Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.

Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком — вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.

Нульовий вектор, колінеарні вектори, рівні вектори

Ілюстрація до визначення вектора

Вектор визначають двома точками: перша — це початок, друга — його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці і кінець у точці (стрілка вказує напрям вектора).

Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називають нульовим (нуль-вектор). Зазначимо що якщо точка, відповідна нульовому вектору, позначена буквою , то сам вектор позначають .

Два ненульових вектори  і називають колінеарними, якщо прямі і паралельні або співпадають (). Всі пари колінеарних векторів можна розділити на дві групи:

  1. однонапрямлені колінеарні вектори — вектори напрямки яких співпадають ();
  2. протилежно напрямлені колінеарні вектори — вектори, які мають протилежний напрямок ().

За визначенням вважається, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому іншому вектору.

Три або більше ненульових вектора називаються компланарними, якщо вони лежать на одній площині або на паралельних площинах.

Координати вектора , що має початок в точці  і кінець у точці , дорівнюють різниці відповідних координат точок  і : .

Довжина, або модуль вектора (використовують позначення ) — це відстань між його початком і кінцем (обчислюється як довжина відрізка ).

Довжина вектора

Обчислення довжини вектора

Якщо вектор  заданий своїми координатами та , то його модуль дорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат цього вектора: . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним вектором або ортом.

Вектори рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями і рівні модулі ().

Колінеарність та рівність векторів — приклад:

Нехай задано чотирикутник .

Чотирикутник ABCD

Виходячи з того, що паралелограм (дві протилежні сторони паралельні та рівні), то, на рисунку вище, зображено рівні вектори . Вектори  і не рівні. Хоч ці вектори і колінеарні, і мають рівні модулі, але вони є протилежно напрямленими.

Координати та модуль вектора — приклад:

Знайти координати та довжину вектора , заданого точками і .

Отже, на першому кроці, знайдемо координати заданого вектора. Для цього, як уже зазначалося вище, від координат кінця віднімемо відповідні координати його початку. В результаті отримаємо: .

Далі, скориставшись формулою (2), знайдемо шуканий модуль: .

Блок-схема алгоритму перевірки рівності двох векторів

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар