Вектор – це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. В даній публікації ми дізнаємось про вектори, про те, які з них називаються рівними, а які колінеарними. Також розглянемо як знайти координати вектора та його модуль.
Навігація по сторінці.
Вектори: основні поняття та визначення.
У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі.
Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.
Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.
Вектор визначають двома точками: перша – це початок, друга – його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор має початок у точці і кінець у точці (стрілка вказує напрям вектора).
Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називають нульовим (нуль-вектор). Зазначимо що якщо точка, відповідна нульовому вектору, позначена буквою , то сам вектор позначають .
Координати вектора та його модуль.
Координати вектора , що має початок в точці і кінець у точці , дорівнюють різниці відповідних координат точок і : .
Довжина, або модуль вектора (використовують позначення ) – це відстань між його початком і кінцем (обчислюється як довжина відрізка AB):
Якщо вектор заданий своїми координатами та , то його модуль дорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат цього вектора:
Зауваження: вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним вектором або ортом.
Рівність і колінеарність векторів.
Два ненульових вектори і називають колінеарними, якщо прямі і паралельні або співпадають (). Всі пари колінеарних векторів можна розділити на дві групи:
- однонапрямлені колінеарні вектори – вектори напрямки яких співпадають ();
- протилежно напрямлені колінеарні вектори – вектори, які мають протилежний напрям ().
За визначенням вважається, що нульовий вектор колінеарний будь-якому іншому вектору.
Три або більше ненульових вектора називаються компланарними, якщо вони лежать на одній площині або на паралельних площинах.
Вектори рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями і рівні модулі ().
Основні поняття та визначення вектора – приклади з відповідями.
Приклад 1: нехай задано чотирикутник . Визначити, які з векторів , , , рівні між собою.
Виходячи з того, що паралелограм (дві протилежні сторони паралельні та рівні), то, на рисунку вище, вектори і рівні ().
Вектори і не рівні. Хоч ці вектори і колінеарні, і мають рівні модулі, але вони є протилежно напрямленими.
Приклад 2: знайти координати та довжину вектора , заданого точками і .
На першому кроці, знайдемо координати вектора . Для цього, як уже зазначалося вище, від координат кінця віднімемо відповідні координати його початку. В результаті отримаємо:
Далі, скориставшись формулою (2), знайдемо шуканий модуль:
Приклад 3: нехай дано точки , і . Які координати повинна мати точка , щоб вектори і були рівними.
Отже, для початку знайдемо координати вектора :
Таким чином, . Якщо вектори рівні,то їхвідповідні координати також рівні, тому . Знаючи координати вектора , знайдемо координати його кінця:
Отже, – шукана точка.
Приклад 4: при якому значенні вектори і колінеарні?
Вектори і будуть колінеарними, якщо відношення їх координат рівні, тобто . Звідси:
Отже, вектори будуть колінеарними, якщо або .
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про вектори? Перегляньте ці сторінки:
- Додавання і віднімання векторів.
- Скалярний добуток векторів.
- Мішаний добуток трьох векторів.
- Векторний добуток двох векторів.
- Проекція вектора на вісь.
- Множення вектора на число.