Означення та формула обчислення загального члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називається така послідовність чисел, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме, задане для даної послідовності, число , яке називається знаменником геометричної прогресії (передбачається, що ).

Якщо число членів прогресії скінченне, то вона називається скінченною геометричною прогресією. В іншому випадку вона називається нескінченною. Наведемо приклади нескінченних геометричних прогресій:

  1.  — знакододатна, монотонно зростаюча геометрична прогресія.
  2.  — знакозмінна геометрична прогресія ( являється меншим нуля).

Абсолютна величина членів другої з наведених вище прогресій, в силу того, що , спадає. У зв'язку з цим прикладом введемо означення: геометрична прогресія називається спадною, якщо , тобто, якщо її члени зменшуються по модулю (зауважимо, що при , як в розібраному прикладі, самі члени прогресії поперемінно змінюють знак і спадної послідовності не утворюють, хоча ми і називаємо прогресію спадною).

Нехай послідовність являє собою геометричну прогресію зі знаменником . Виведемо формулу, для визначення загального члена прогресії через її перший член , знаменник  і номер . Для цього, як і у випадку з арифметичною прогресією, скориставшись означенням геометричної прогресії, розпишемо її другий та третій члени у наступному вигляді:

Підставами тепер в праву частину останньої рівності, замість його вираз через  і , взятий з попередньої рівності. В результаті будемо мати:

Аналогічним чином, за допомогою рівності , яка також випливає з означення прогресії, отримаємо:

Переглянувши отримані результиати бачимо, що з останніх двох рівностей наглядно спостерігається закономурність, за якою загальний член геометричної прогресії виражається через , і :

Методом математичної індукції доведемо істенність даної формули. Отже, як нам відомо, формула (4) справедлива для випадків, коли  дорівнює два, три та чотири. Припустимо, що вона вірна для деякого , і покажемо, що в цьому випадку вона вірна і для наступного номера . Для цього, запишемо вираз для члена , що випливає з означення геометричної прогресії:

На наступному кроці, підставимо у формулу (5) вираз (4). В результаті отримаємо:

Записавши тепер останній вираз у дещо іншому вигляді, а саме , приходимо до висновку, що це і є формула (4), але записана вже для номера , що і треба було довести.

Загальний член геометричної прогресії — приклад 1:

Знайти четвертий, шостий та одинадцятий члени геометричної прогресії, якщо її перший член і знаменник .

Отже, скориставшись формулою (4), отримаємо:

Загальний член геометричної прогресії — приклад 2:

Знайти п'ятий член та знаменник геометричної прогресії, якщо відомо, що перших три її члени приймають наступні значення: .

Для цього, на першому кроці, скориставшись означення геометричної прогресії, обчислюємо знаменник:

Далі, скориставшись формулою обчислення загального члена прогресії, знаходимо рішення задачі:

Загальний член геометричної прогресії — приклад 3:

Знайти третій член геометричної прогресії, що складається з дійсних чисел, якщо і .

За умовою задачі, елементи (перший член та знаменник геометричної прогресії) які фігурують у формулі обчислення загального члена, являються невідомими. Тому, на першому кроці, переходимо до їх визначення. Для цього, скориставшись формулою (4), розпишемо задані члени у наступному вигляді:

Тобто, на даному етапі, ми отримали систему двох рівнянь з двома невідомими  та . Рішення даної системи знайдемо методом підстановки. В результаті отримаємо:

Останнє рівняння має три корені: один дійсний і два комплексних спряжених. Виходячи з того, що потрібно знайти член прогресії, що складається з дійсних чисел, то обмежимося лише першим з них. Отже, , а значить . Звідси, .

Блок-схема алгоритму знаходження загального члена геометричної прогресії

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар