Означення та формула обчислення загального члена арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається така послідовність чисел, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена і деякого фіксованого числа , яке називається різницею або кроком арифметичної прогресії.

До прикладу натуральний ряд чисел є нескінченною арифметичною прогресією з різницею , а послідовність непарних і парних чисел — нескінченними арифметичними прогресіями, для кожної з яких різниця дорівнює числу два ().

Арифметична прогресія при являється монотонною послідовністю: якщо , то прогресія зростає, якщо , то прогресія спадає, при вона постійна. Нескінченні арифметичні прогресії, для яких різниця не дорівнює нулю, як необмежені послідовності, границі не мають. Вони відносяться до категорії розбіжних послідовностей.

Нехай послідовність являє собою арифметичну прогресію з різницею . Виведемо формулу, для визначення члена даної прогресії через її перший член , крок  і номер . Для цього, скориставшись означенням арифметичної прогресії, розпишемо її другий та третій члени у наступному вигляді:

Підставимо тепер в праву частину другої рівності замість члена  його вираз через  і , взятий з попередньої рівності. В результаті отримаємо:

Аналогічним чином, для рівності (також випливає з означення прогресії), отримаємо:

Тобто, з останніх двох формул, наглядно спостерігається закономірність, за якою загальний член арифметичної прогресії виражається через  та номер  і обчислюється за формулою:

Скориставшись методом індукції доведемо істенність даної формули. Отже, із сказаного вище випливає, що формула (4) справедлива для випадків, коли  дорівнює два, три та чотири. Припустимо, що вона вірна для деякого , і покажемо, що в цьому випадку вона вірна і для наступного номера . Запишемо вираз , що випливає з означення арифметичної прогресії:

Підставами в дану рівність вираз (4). В результаті будемо мати:

Якщо записати останній вираз у дещо іншому вигляді, а саме , то можна зробити висновок, що це і є формула (4), але записана вже для номера , що і треба було довести.

Загальний член арифметичної прогресії — приклад 1:

Знайти члени арифметичної прогресі, що містяться під номером , та , якщо і .

Отже, скориставшись формулою (4), отримаємо:

Загальний член арифметичної прогресії — приклад 2:

Знайти елемент, що міститься під номером , для арифметичної прогресії наступного вигляду: .

Для цього, на першому кроці, визначаємо крок арифметичної прогресії:

Далі, скориставшись формулою (4), знаходимо рішення задачі:

Загальний член арифметичної прогресії — приклад 3:

Знайти член арифметичної прогресії, що міститься під номером , якщо і .

Виходячи з того, що член  та крок , які для рішення поставленої задачі грають визначальну роль, являються невідомими, то, на першому кроці, переходимо до їх визначення. Для цього, скориставшись формулою (4), розпишемо задані елементи прогресії у наступному вигляді:

Тобто, в результаті виконання даного кроку, ми отримали систему двох рівнянь з двома невідомими  та . Для розв'язку даної системи застосуємо, наприклад, метод підстановки. В результаті отримаємо:

Звідси, .

Блок-схема алгоритму знаходження загального члена арифметичної прогресії

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар