Означення матриці. Основні операції над матрицями

Матрицею Матриці. Дії над матрицями розмірності matrix2 називається таблиця чисел, яка складається з matrix4 рядків та matrix5 стовпців.

matrix6

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент matrix7міститься в matrix8-му рядку та matrix9-му стовпці матриці Матриці. Дії над матрицями.

Наприклад, для матриці matrix10, розмірності matrix11, елемент matrix12 а елемент matrix13.

Види матриць.

Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:

matrix14

Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює matrix15. Набір елементів matrix17 такої матриці утворюють головню діагональ, а набір matrix18 — побічну. Наприклад, matrix16, являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 — побічну діагональ.

Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:

Верхня тоикутна матриця | Нижня трикутна матриця

Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності matrix15 всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною матрицею і позначають буквою matrix20. Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою matrix23.

Діагональна матриця | Одинина матриця | Нульова матриця

Операції над матрицями.

Множення матриці на число. Множенням матриці Матриці. Дії над матрицями на число matrix30 називається матриця matrix31, кожен елемент якої дорівнює добутку числа matrix30 на елемент матриці Матриці. Дії над матрицями, тобто matrix32.

Приклад: matrix33.

Додавання матриць. Сумою двох матриць Матриці. Дії над матрицями та matrix25 одинакової розмірності називається матриця, matrix271 кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто matrix28.

Приклад: matrix29.

Різниця матриць. Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: matrix34.

Добуток матриць. Операція множення матриці Матриці. Дії над матрицями на матрицю matrix25 допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І в такому випадку добутком двох узгоджених матриць Множення матриць та Множення матриць називають матрицю Множення матриць, кожен елемент Множення матриць якої дорівнює сумі добутків елементів matrix8-го рядка матриці Матриці. Дії над матрицями на відповідні елементи matrix9-го стовпця матриці matrix25, тобто Множення матриць.

Приклад: Множення матриць.

Степінь матриці. Результатом операції піднесення до степені matrix41 квадратної матриці Матриці. Дії над матрицями, будь-якої розмірності, називається матриця  тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток matrix4 матриць рівних матриці Матриці. Дії над матрицями, тобто matrix43.

Приклад: matrix44.

Зауваження: дві матриці Матриці. Дії над матрицями і matrix25 називаються рівнними, якщо вони складаються з одинакової кількості рядків і стовпців та рівні поелементно, тобто matrix42.

Транспонування матриць. Дію, яка переводить рядки матриці Матриці. Дії над матрицями у стовпці і навпаки називається транспонуванням і позначається matrix45.

matrix46

Приклад: matrix47.

Алгоритми основних операцій над матрицями:

matrix48

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар