Означення матриці. Основні операції над матрицями

Матрицею розмірності називається таблиця чисел, яка складається з рядків та стовпців.

matrix6

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент міститься в -му рядку та -му стовпці матриці .

Наприклад, для матриці , розмірності , елемент а елемент .

Види матриць.

Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:

matrix14

Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює . Набір елементів такої матриці утворюють головню діагональ, а набір – побічну. Наприклад, , являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 – побічну діагональ.

Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:

Верхня тоикутна матриця | Нижня трикутна матриця

Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною матрицею і позначають буквою . Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою .

Діагональна матриця | Одинина матриця | Нульова матриця

Операції над матрицями.

Множення матриці на число. Множенням матриці на число називається матриця , кожен елемент якої дорівнює добутку числа на елемент матриці , тобто .

Приклад: .

Додавання матриць. Сумою двох матриць та одинакової розмірності називається матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто .

Приклад: .

Різниця матриць. Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: .

Добуток матриць. Операція множення матриці на матрицю допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І в такому випадку добутком двох узгоджених матриць та називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці , тобто .

Приклад: .

Степінь матриці. Результатом операції піднесення до степені квадратної матриці , будь-якої розмірності, називається матриця тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток матриць рівних матриці , тобто .