Означення матриці. Основні операції над матрицями
Матрицею розмірності
називається таблиця чисел, яка складається з
рядків та
стовпців.
Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент міститься в
-му рядку та
-му стовпці матриці
.
Наприклад, для матриці , розмірності
, елемент
а елемент
.
Види матриць.
Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:
Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює . Набір елементів
такої матриці утворюють головню діагональ, а набір
— побічну. Наприклад,
, являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 — побічну діагональ.
Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:
Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною матрицею і позначають буквою
. Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою
.
Операції над матрицями.
Множення матриці на число. Множенням матриці на число
називається матриця
, кожен елемент якої дорівнює добутку числа
на елемент матриці
, тобто
.
Приклад: .
Додавання матриць. Сумою двох матриць та
одинакової розмірності називається матриця,
кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто
.
Приклад: .
Різниця матриць. Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: .
Добуток матриць. Операція множення матриці на матрицю
допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І в такому випадку добутком двох узгоджених матриць
та
називають матрицю
, кожен елемент
якої дорівнює сумі добутків елементів
-го рядка матриці
на відповідні елементи
-го стовпця матриці
, тобто
.
Приклад: .
Степінь матриці. Результатом операції піднесення до степені квадратної матриці
, будь-якої розмірності, називається матриця тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток
матриць рівних матриці
, тобто
.
Приклад: .
Зауваження: дві матриці і
називаються рівнними, якщо вони складаються з одинакової кількості рядків і стовпців та рівні поелементно, тобто
.
Транспонування матриць. Дію, яка переводить рядки матриці у стовпці і навпаки називається транспонуванням і позначається
.
Приклад: .