Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Нехай дано матрицю A наступного виду: Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

для якої потрібно знайти обернену методом Гаусса (оберненою називається матриця, при множенні на яку вихідна матриця перетворюється на одиничну, тобто Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса). Суть даного методу полягає у наступному: якщо взяти одиничну матрицю E і провести над нею елементарні перетворення, які приводять марицю A до одиничної, то в результаті матриця E перетвориться на обернену до A.

Розглянемо процес приведення матриці А до одиничної більш детально.

Прямий хій: помножемо перший рядок матриці А на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса, в результаті отримаємо матрицю в якої елемент Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса. Далі, від елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса, від елементів, третього віднімаємо елементи першого рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса і так далі. На n-у кроці від елементів n-го рядка віднімаємо елементи першого, помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса. Після чого матриця А набуде вигляду:

Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

На наступному кроці помножемо всі елементи другого рядка на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса. І  від елементів 3,4,...,n-го рядка віднімаємо елементи другого помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса відповідно. Так всі елементи другого стовпця матриці А, починаючи з третього, стануть рівними нулю, а елемент Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса буде рівним одиниці.

obernena_matricag121

І так далі продовжуємо даний процес, поки всі елементи головної діагоналі матриці А не стануть рівними одиниці, а всі елементи нижче діагоналі не стануть рівними нулю.

Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Обернений хід (суть оберненого ходу полягає в тому, щоб всі елементи вище головної діагоналі стали також рівними нулю): перетворимо матрицю A так, щоб всі елементи n-го стовбця стали рівними нулю крім елемента Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса. Щоб цього досягнути, від елементів (n-1)-го рядка віднімаємо елементи n-го рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса, від елементів (n-2)-го рядка віднімаємо елементи n-го рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса, ... , від елементів першого рядка віднімаємо елементи n-го рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.

Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Далі перетворимо матрицю А так, щоб всі елементи (n-1)-го стовбця крім Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса стали рівними нулю. Тобто, від елементів (n-3)-го рядка віднімаємо елементи (n-1)-го рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса, від елементів (n-4)-го рядка віднімаємоелементи (n-1)-го рядка помножені на Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса і так далі до першого рядка включно.

Продовжуючи аналогічні дії ми отримаємо одиничну матрицю.

Блок-схема алгоритму:

Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар