Знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Як нам відомо, метод Гаусса являється універсальним та найбільш використовуваним інструментом при рішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Проте це не єдина задача, для розв'язку якої використовується цей метод. У даному параграфі продемостріруємо застосування методу виключення невідомих Гаусса при обчисленні оберненої матриці (оберненою називається матриця, при множенні на яку вихідна матриця перетворюється на одиничну, тобто ). Практично цей найбільш простий спосіб обчислення оберненої матриці полягає в наступному: якщо взяти одиничну матрицю і провести над нею елементарні перетворення, які приводять квадратну невироджену марицю до одиничної, то в результаті матриця  перетвориться на обернену матрицю до матриці .

Розглянемо алгоритм приведення матриці  порядку до одиничної більш детально.

Отже, на першому етапі (прямий хід методу Гаусса), приведемо матрицю  до верхньої трикутної, елементи головної діагоналі якої рівні одиниці. Для цього, на першому кроці, помножемо перший рядок матриці  на число . В результаті отримаємо матрицю, елемент якої рівний одиниці. Далі, від елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка помножені на , від елементів третього віднімаємо елементи першого рядка помножені на і так далі. На -му кроці від елементів -го рядка віднімаємо елементи першого, помножені на . Зазначимо, що після виконання цих дій, матриця  прийме наступного вигляду:

На наступному кроці, помножемо всі елементи другого рядка на . І від елементів -го рядків віднімаємо елементи другого помножені на відповідно. В результаті, всі елементи другого стовпця матриці , починаючи з третього, стануть рівними нулю, а елемент буде рівним одиниці.

І так далі, продовжуємо даний процес, поки всі елементи головної діагоналі матриці  не стануть рівними одиниці, а всі елементи нижче діагоналі не стануть рівними нулю.

Після цього, переходимо до другого етапу (обернений хід методу Гаусса), основним завданням якого є перетворення матриці (4)  таким чином,  щоб всі елементи вище головної діагоналі стали також рівними нулю. Для цього, на першому кроці, перетворимо матрицю  так, щоб всі елементи -го стовбця стали рівними нулю крім елемента, що міститься в останньому рядку. Щоб цього досягнути, від елементів -го рядка віднімаємо елементи -го рядка помножені на , від елементів -го рядка віднімаємо елементи -го рядка помножені на і так далі, від елементів першого рядка віднімаємо елементи -го помножені на .

Далі перетворимо матрицю  так, щоб всі елементи -го стовбця крім елемента що міститься в -му рядку, стали рівними нулю. Для цього, від елементів -го рядка віднімаємо елементи -го, помножені на , від елементів -го рядка віднімаємо елементи -го рядка помножені на і так далі, до першого рядка включно. Продовжуючи аналогічні дії, отримаємо одиничну матрицю.

Знаходження оберненої матриці методом Гаусса — приклад:

Знайти обернену матрицю для квадратної матриці наступного вигляду:

Зазначимо, що у лівій частині сторінки будемо проводити перетворення Гаусса над матрицею , а в правій частині — проробляти аналогічні дії над одиничною матрицею.

Отже, на першому кроці, помножемо елементи першого рядка на , щоб елемент  матриці  став рівним одиниці. Після цього, до елементів другого рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на , до елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на і до елементів четвертого рядка — елементи першого рядка, помножені на . В результаті матриця  та матриця  набудуть наступного вигляду:

Тобто, в першому стовпці матриці  ми отримали потрібні нульові елементи. Далі, переходимо до стовпця номер два і перетворимо його таким  того, щоб елемент став рівним одиниці, а елементи та  — рівними нулю. Для цього помножемо елементи другого рядка матриці  та матриці  на число , після чого, до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на , а до елементів четвертого рядка, додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на :

Таким чином, другий стовпець матриці  перетворений до потрібного вигляду. Перейшовши до третього, а в подальшому, і до четвертого стовпців матриць  та , та виконавши над нимим аналогічні дії, завершуємо прямий хід, розглянутого вище, методу Гаусса.

Перейшовши до оберненого ходу, на першому кроці, отримуємо необхідні нульові елементи в останньому стовпці матриці . Для цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи останнього рядка, помножені на , до елементів другого рядка — елементи останнього рядка, помножені на і до елементів першого рядка — елементи останнього рядка, помножені на :

Виконавши аналогічні перетворення над третім та другим стовпцями матриць  та , приведемо задану матрицю до одиничного вигляду, а одиничну — до оберненої матриці.

Блок-схема алгоритму знаходження оберненої матриці методом Гаусса

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:
Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар