Визначник матриці є одним з найважливіших понять в лінійній алгебрі, яке знайоме кожному студенту математичних факультетів. Визначник матриці дозволяє розв’язувати системи лінійних рівнянь, знаходити власні числа та власні вектори, а також застосовується в багатьох інших областях математики, фізики та інженерії.
У цій статті ми детально розглянемо поняття визначника матриці, основні властивості та формули для обчислення визначника матриць різних розмірностей. Ми також розглянемо геометричний зміст визначника та наведемо кілька прикладів розв’язання задач на знаходження визначників матриць.
Знання, яке ви отримаєте з цієї статті, допоможе вам зрозуміти не тільки основи лінійної алгебри, а й застосувати їх у практичних задачах.
Навігація по сторінці.
- Що таке визначник матриці?
- Основні властивості визначника матриці.
- Формули для обчислення визначника матриці 2×2 та 3×3.
- Обчислення визначника матриць вищих порядків.
- Геометричний зміст визначника матриці.
- Приклади задач та практичних питань на тему «Обчислення визначника матриць різних порядків».
- Блок-схема алгоритму знаходження визначника матриці методом розкладу за першим рядком.
Що таке визначник матриці?
Визначник матриці – це числова величина, яка пов’язана з квадратною матрицею. Його можна обчислити за допомогою формул, які включають елементи матриці та їх розташування в ній. Для будь-якої квадратної матриці A визначник позначається як det(A) або |A|. Іноді його позначають символом Δ.
Одним з основних застосувань визначника матриці є знаходження оберненої матриці. Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то матриця має обернену, тобто існує така матриця, що її добуток на задану матрицю дає одиничну матрицю. Крім того, визначник матриці використовується в різних областях математики та науки, таких як теорія систем, теорія ймовірності, фізика та інженерія.
Також визначник матриці може бути використаний для розв’язання систем лінійних рівнянь, зокрема для визначення, чи має система єдиний розв’язок. Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то система має нескінченну кількість розв’язків.
Отже, визначник матриці є потужним математичним інструментом, який дає змогу визначити особливості та властивості матриці та застосувати його для розв’язання різноманітних задач.
Основні властивості визначника матриці.
- зміна порядку рядків (або стовпців) матриці призводить до зміни знаку її визначника;
- якщо матриця A має ненульовий визначник, то вона має обернену матрицю, причому визначник оберненої матриці дорівнює 1/det(A);
- якщо всі елементи рядка (стовпця) матриці A дорівнюють нулю, то значення її визначника дорівнює 0.
- якщо матриця A має два однакових рядки (стовпці), то її визначник дорівнює нулю;
- якщо матриця A має рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то її визначник дорівнює нулю;
- якщо матриця A має одиниці на головній діагоналі та нулі поза нею, то її визначник дорівнює добутку цих одиниць: det(A)=1·1·1·…·1=1;
- якщо до рядка (стовпця) матриці A додати інший рядок (стовпець), помножений на константу k, то визначник матриці не зміниться;
- якщо матриця A є верхньою трикутною (або нижньою трикутною), то її визначник дорівнює добутку елементів на головній діагоналі: det(A)=a11·a22·a33·…·ann;
- якщо матриці A та B є квадратними матрицями того ж розміру, то визначник добутку матриць A та B дорівнює добутку визначників цих матриць: det(AB)=det(A)·det(B);
- визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику початкової матриці: det(AT)=det(A).
Формули для обчислення визначника матриці 2×2 та 3×3.
Перш ніж переходити до формул для обчислення визначників матриць з розмірністю більше трьох, слід розглянути, яким чином знаходять визначники для матриць меншої розмірності.
Отже, визначником матриці другого порядку обчислюється шляхом віднімання добутку елементів бічної діагоналі від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі:
Визначник матриці третього порядку обчислюється за правилом трикутника. Згідно з цим правилом, визначник дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі та двох трикутників, побудованих таким чином, щоб одна сторона була паралельна головній діагоналі і всі елементи були у різних рядках та стовпцях.
Далі з отриманої суми віднімається сума добутків елементів, які розташовані на бічній діагоналі та двох трикутників, побудованих таким чином, щоб одна сторона була паралельна бічній діагоналі та всі елементи були на різних рядках та стовпцях.
Таким чином, формула для обчислення визначника матриці 3×3 за допомогою правила трикутника має вигляд:
Обчислення визначника матриць вищих порядків.
Для обчислення визначників матриць вищих порядків не існує простих та зручних для запам’ятовування формул, як у випадку матриць 2×2 чи 3×3.
Однак, існує загальне правило обчислення визначника матриці n-го порядку, яке називається розкладом визначника за рядком чи стовпцем, і базується на поняттях мінора та алгебраїчного доповнення.
Для кращого розуміння даного правила, нагадаємо собі ці поняття:
- мінором Mij елемента aij називається визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент;
- алгебраїчне доповнення Aij елемента aij – це мінор даного елемента взятий зі знаком «+», якщо i+j є парним число, і зі знаком «-» у протилежному випадку, тобто Aij=(-1)(i+j)·Mij.
Таким чином, щоб обчислити визначник матриці n-го порядку, потрібно знайти суму добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця, помножених на їх відповідні алгебраїчні доповнення:
Отже, при обчисленні визначника матриці n-го порядку за допомогою розкладу визначника за рядком (стовпцем), необхідно обчислити декілька визначників-мінорів на одиницю меншого порядку. Ці визначники-мінори можна знову виразити через мінори ще меншого порядку, і так далі, поки не досягнемо мінорів, які можна обчислити за явними формулами (1) або (2).
Таким чином, можна припустити, що при програмній реалізації даного методу, функція для обчислення мінорів будь-якого порядку повинна працювати рекурсивно.
Зауваження: якщо в рядку (стовпці) матриці є елементи, що дорівнюють нулю, то у формулі (3) необхідно обчислити не n визначників-мінорів порядку (n-1), а менше. Тому на практиці, зазвичай, обирають рядок (стовпець) з найбільшою кількістю нулів.
Геометричний зміст визначника матриці.
Геометричний зміст визначника матриці залежить від її розмірності. Для матриць розмірністю більше 2 геометричний зміст є більш складним та абстрактним, але для матриці 2×2 його можна описати дуже конкретно.
Отже, для матриці 2×2 геометричний зміст визначника полягає в тому, що він показує зміну площі паралелограма, який утворюється за допомогою векторів-стовпців матриці.
Розглянемо матрицю A:
Вектор-стовпець, який відповідає першому стовпцю матриці, можна уявити як вектор, що починається в точці (0, 0) та закінчується в точці (a11, a21). Аналогічно, вектор-стовпець, який відповідає другому стовпцю матриці, можна уявити як вектор, що починається в точці (0, 0) та закінчується в точці (a12, a22).
Вектори-стовпці матриці A утворюють паралелограм, площа якого може бути знайдена за допомогою векторного добутку векторів-стовпців:
Знак визначника матриці 2×2 вказує на те, чи спрямований паралелограм «ліворуч» чи «праворуч» відносно початку координат. Якщо визначник матриці 2×2 додатний, то паралелограм спрямований «праворуч», а якщо він від’ємний – то «ліворуч». Якщо ж визначник дорівнює нулю, то вектори-стовпці лінійно залежні, тому паралелограм має нульову площу і визначник також дорівнює нулю.
Отже, геометричний зміст визначника матриці другого порядку полягає в тому, що він вказує на спрямованість та площу паралелограма, який утворюється за допомогою векторів-стовпців матриці.
Зауваження: у випадку матриці 3×3 геометричний зміст визначника можна інтерпретувати як об’єм паралелепіпеда, утвореного векторами-стовпцями матриці; у загальному випадку, для матриці nxn геометричний зміст визначника можна інтерпретувати як об’єм n-вимірного паралелепіпеда у просторі, що утворюється векторами-стовпцями матриці.
Приклади задач та практичних питань на тему «Обчислення визначника матриць різних порядків».
Приклад 1: чому дорівнює визначник матриці A, якщо всі її елементи є нулями?
Якщо всі елементи матриці A дорівнюють нулю, то кожний рядок (стовпець) матриці також складається тільки з нулів.
Відповідно до властивості визначника матриці, яка стверджує, що якщо всі елементи рядка (стовпця) матриці дорівнюють нулю, то значення її визначника дорівнює 0, маємо, що визначник матриці А дорівнює 0.
Приклад 2: чому дорівнює визначник матриці A, якщо всі її елементи рівні?
Якщо всі елементи матриці A рівні, то можна вважати, що всі рядки (стовпці) матриці A також однакові. Оскільки матриця A має два однакових рядки (стовпці), то за властивістю визначника матриці її визначник дорівнює нулю.
Таким чином, визначник матриці A, де всі елементи рівні, дорівнює нулю.
Приклад 3: обчислити визначник матриці другого порядку:
Використовуючи формулу для обчислення визначника матриці 2×2, будемо мати:
Отже, визначник матриці A дорівнює -14.
Приклад 4: обчислити визначник матриці третього порядку:
Згідно з формулою для обчислення визначника матриці 3×3, маємо:
Отже, визначник матриці A дорівнює 11.
Приклад 5: обчислити визначник матриці четвертого порядку:
Щоб знайти визначник матриці 4×4, скористаємося правилом розкладу за останнім рядком (містить найбільшу кількість нулів). Таким чином, маємо:
Отже, визначник матриці A дорівнює -630.
Дивіться також:
Якщо вам сподобалось вивчення поняття визначника матриці, ви можете продовжити своє дослідження і дізнатись більше про наступні теми:
- Власні числа та вектори матриці.
- Обернена матриця та її зв’язок з визначником.
- Метод Гаусса для обчислення визначника.
- Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою визначників.