Обчислення визначників високих порядків за схемою розкладу визначника по рядку чи стовпці

Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

Детермінант матриці з допомогою алгебраїчних доповнень

тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімаємо добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума дібутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

determinant_algebr_dop16

Для обчислення визначників більш високих порядків, таких зручних та легких для запам’ятовування схем не існує. Нам на допомогу прийде загальне правило обчислення визначника determinant_algebr_dop121-го порядку, яке носить назву розклад визначника по рядку (стовпці) і базується на таких поняттях, як мінор та алгебраїчне доповнення. Давайте розглянемо дані поняття бульш детально:

  1. Мінором determinant_algebr_dop17 елемента determinant_algebr_dop8 називається визначник determinant_algebr_dop15-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент.
  2. Алгебраїчне доповнення елемента determinant_algebr_dop8 — це мінор даного елемента взятий зі знаком «+», якщо determinant_algebr_dop10 являється парним число, і зі знаком «-» у протилежному випадку, тобто determinant_algebr_dop9.

Після того, як визначення мінора та алгебраїчного доповнення нам відомі, давайте сформулюємо основну ідею даного правила: визначник determinant_algebr_dop121-го порядку дорівнює сумі determinant_algebr_dop121 добутків елементів будь-якого його рядка чи стовпця, на їх алгебраїчні доповнення:

determinant_algebr_dop18

тобто, в результаті такого підходу обчислення визначника determinant_algebr_dop121-го порядку, зводиться до обчислення декількох визначників-мінорів на одиницю меншого порядку. Дані визначники в свою чергу можна аналогічним чином виразити через мінори ще меншого порядку, продовжуючи даний процес до тих пір, поки не отримаємо мінори, обчислити які можна за явними формулами (1) або (2). Це наводить на думку, що при програмній реалізації даного методу, функція для обчислення мінорів будь-якого порядку, повинна працювати рекурсивно.

Зауваження: якщо деякі елементи рядка (стовпця) рівні нулю, то у формулі (3) потрібно обчислити не determinant_algebr_dop121 визначників-мінорів determinant_algebr_dop15-го порядку, а менше. Тому, на практиці, зазвичай вибирають такий рядок (стовпець), у якому міститься найбільше нулів.

Блок-схема програмної реалізації схеми розкладу визначника по першому рядку:

determinant_algebr_dop19

Матеріал був корисним, поділись в соціальних мережах:

Якщо тобі сподобалась дана тема, залиш свій коментар